江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．$f(x)=|x|^{p}(p>0)$ ，计算 $f(x)$ 的导数，若存在不可导点，说明原因．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析 x>0 时的导数
当 $x>0$ 时，$|x|=x$，故 $f(x)=x^p$。这是幂函数，直接求导得 $f'(x)=p x^{p-1}$。
公式：f'(x)=p x^{p-1}
提示：注意此时 $p>0$，幂函数求导公式成立。
步骤 2/5
目标：分析 x<0 时的导数
当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，故 $f(x)=(-x)^p$。令 $u=-x$，则 $f=u^p$，$u'=-1$，由复合函数求导得 $f'(x)=p u^{p-1}\cdot(-1)=-p(-x)^{p-1}$。由于 $(-x)^{p-1}=|x|^{p-1}$，也可写为 $f'(x)=-p|x|^{p-1}$。
公式：f'(x)=-p|x|^{p-1}
提示：当 $p-1$ 不是整数时，$(-x)^{p-1}$ 应理解为正实数 $(-x)$ 的幂，结果仍为实数。
步骤 3/5
目标：利用导数定义计算 x=0 处的左右导数
左导数：$f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|^p}{h}$。当 $h<0$ 时，$|h|=-h$，故 $\frac{(-h)^p}{h}=-(-h)^{p-1}$。令 $t=-h>0$，则 $f'_-(0)=\lim_{t\to 0^+}-t^{p-1}$。
右导数：$f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{h^p}{h}=\lim_{h\to 0^+}h^{p-1}$。
公式：f'_-(0)=\lim_{t\to 0^+}-t^{p-1},\quad f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}h^{p-1}
提示：注意 $h$ 在左右极限中符号不同，需分别处理。
步骤 4/5
目标：根据 p 的取值分类讨论 x=0 处的可导性
（1）若 $p>1$，则 $p-1>0$，$\lim_{h\to 0^+}h^{p-1}=0$，$\lim_{t\to 0^+}-t^{p-1}=0$，左右导数相等，故 $f'(0)=0$。
（2）若 $p=1$，则 $p-1=0$，右导数为 $1$，左导数为 $-1$，不相等，故不可导。
（3）若 $0
公式：p>1\text{ 时 }f'(0)=0;\quad p\le 1\text{ 时不可导}
提示：注意 $p=1$ 时左右导数有限但不相等；$0
步骤 5/5
目标：总结导数表达式
综合以上，导数可写为分段形式：
$$f'(x)=\begin{cases} p x^{p-1}, & x>0,\\ 0, & x=0\text{ 且 }p>1,\\ -p|x|^{p-1}, & x<0.\end{cases}$$
当 $0
公式：f'(x)=\begin{cases} p x^{p-1}, & x>0,\\ 0, & x=0\text{ 且 }p>1,\\ -p|x|^{p-1}, & x<0.\end{cases}
提示：注意 $x=0$ 处导数仅在 $p>1$ 时存在，且值为 $0$。
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