江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别未定式类型并取对数
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，指数 $\frac{1}{x^2} \to +\infty$，因此原极限是 $1^\infty$ 型未定式。设 $y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$，两边取自然对数得 $\ln y = \frac{1}{x^2} \ln(\cos x)$。原极限转化为先求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$，再取指数。
公式：\ln y = \frac{1}{x^2} \ln(\cos x)
提示：遇到 $1^\infty$ 型极限，优先考虑取对数转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型。
步骤 2/5
目标：展开 $\cos x$ 的泰勒级数
当 $x \to 0$ 时，将 $\cos x$ 展开到 $x^4$ 项：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$。
公式：\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)
提示：展开阶数要足够高，因为分母是 $x^2$，分子需要展开到 $x^4$ 才能准确计算极限。
步骤 3/5
目标：展开 $\ln(\cos x)$ 的泰勒级数
令 $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，利用 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$，代入得：
$\ln(\cos x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4)$
计算平方项：$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{8}$，于是
$\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$。
公式：\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)
提示：注意 $\ln(1+u)$ 展开时，$u^2$ 项只取最低阶，因为高阶项对 $x^4$ 贡献可忽略。
步骤 4/5
目标：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$
将展开式代入：$\frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2} - \frac{x^2}{12} + o(x^2)$。当 $x \to 0$ 时，后两项趋于0，因此极限为 $-\frac{1}{2}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = -\frac{1}{2}
提示：计算过程中注意 $o(x^4)/x^2 = o(x^2) \to 0$，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：还原原极限并得出最终结果
由 $\ln y \to -\frac{1}{2}$，得 $y \to e^{-1/2}$。因此原极限为 $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}$。
公式：\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}
提示：取对数后求极限，最后一定要记得取指数还原。
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