江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．$f(x, y)=x^{y}$ ，求 $f$ 所有一阶、二阶偏导数，并求在点 $(1,4)$ 处到二阶的泰勒公式．（任何余项皆可）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义域
函数为 $f(x,y)=x^y$，为保证实数幂有意义，通常要求 $x>0$。题目未特别限制，默认在 $x>0$ 范围内讨论。
公式：无
提示：注意底数 $x$ 必须大于0，否则 $x^y$ 可能无定义或导数不成立。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数
对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数，利用幂函数求导公式：$\frac{\partial f}{\partial x} = y x^{y-1}$。
对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数，利用指数函数求导公式（$x^y = e^{y \ln x}$）：$\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x$。
公式：$f_x = y x^{y-1}, \quad f_y = x^y \ln x$
提示：对 $y$ 求导时，不要忘记 $\ln x$ 因子。
步骤 3/6
目标：求二阶偏导数（$f_{xx}$ 和 $f_{xy}$）
先求 $f_{xx}$：对 $f_x = y x^{y-1}$ 再对 $x$ 求偏导，得 $f_{xx} = y(y-1) x^{y-2}$。
再求 $f_{xy}$：对 $f_x$ 再对 $y$ 求偏导。将 $x^{y-1}$ 视为 $e^{(y-1)\ln x}$，求导得 $x^{y-1} \ln x$，于是 $f_{xy} = 1 \cdot x^{y-1} + y \cdot x^{y-1} \ln x = x^{y-1}(1 + y \ln x)$。
公式：$f_{xx} = y(y-1)x^{y-2}, \quad f_{xy} = x^{y-1}(1 + y \ln x)$
提示：求 $f_{xy}$ 时，注意 $x^{y-1}$ 对 $y$ 的导数要用指数函数求导法。
步骤 4/6
目标：求二阶偏导数（$f_{yx}$ 和 $f_{yy}$）
求 $f_{yx}$：对 $f_y = x^y \ln x$ 再对 $x$ 求偏导。使用乘积法则：$\frac{\partial}{\partial x}(x^y \ln x) = y x^{y-1} \ln x + x^y \cdot \frac{1}{x} = x^{y-1}(y \ln x + 1)$，可见 $f_{xy}=f_{yx}$。
求 $f_{yy}$：对 $f_y$ 再对 $y$ 求偏导，得 $f_{yy} = x^y (\ln x)^2$。
公式：$f_{yx} = x^{y-1}(y \ln x + 1), \quad f_{yy} = x^y (\ln x)^2$
提示：混合偏导相等可验证计算正确性。
步骤 5/6
目标：计算在点 $(1,4)$ 处的函数值与各阶偏导数值
函数值：$f(1,4)=1^4=1$。
一阶偏导：$f_x(1,4)=4 \cdot 1^{3}=4$，$f_y(1,4)=1^4 \cdot \ln 1 = 0$。
二阶偏导：$f_{xx}(1,4)=4\cdot3\cdot1^{2}=12$，$f_{xy}(1,4)=1^{3}(1+4\cdot\ln1)=1$，$f_{yy}(1,4)=1^4\cdot(\ln1)^2=0$。
公式：无
提示：注意 $\ln 1 = 0$，简化计算。
步骤 6/6
目标：写出在点 $(1,4)$ 处的二阶泰勒公式
二元函数在 $(a,b)$ 附近的二阶泰勒展开为：
$f(a+h, b+k) = f(a,b) + f_x(a,b)h + f_y(a,b)k + \frac12\big[f_{xx}(a,b)h^2 + 2f_{xy}(a,b)hk + f_{yy}(a,b)k^2\big] + R_2$。
代入 $(a,b)=(1,4)$ 及已求值：
$f(1+h,4+k) = 1 + 4h + 0\cdot k + \frac12\big[12h^2 + 2\cdot1\cdot hk + 0\cdot k^2\big] + R_2$。
化简得：$= 1 + 4h + 6h^2 + hk + R_2$。
余项取皮亚诺型：$R_2 = o(h^2+k^2)$。
公式：$f(1+h,4+k) = 1 + 4h + 6h^2 + hk + o(h^2+k^2)$
提示：注意泰勒公式中二阶项系数有 $\frac12$ 因子，且交叉项系数为 $2f_{xy}$。
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