江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．求定积分 $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定积分并首次分部积分
设 $I = \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$。令 $u = \sin x$，$dv = e^{x} dx$，则 $du = \cos x \, dx$，$v = e^{x}$。由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
$$I = \left[ e^{x} \sin x \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$$
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：注意在端点处 $\sin \pi = 0$，$\sin 0 = 0$，因此第一项为0。
步骤 2/5
目标：化简首次分部积分结果
计算边界项：$\left[ e^{x} \sin x \right]_{0}^{\pi} = e^{\pi} \cdot 0 - e^{0} \cdot 0 = 0$，所以：
$$I = - \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$$
公式：I = -\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx
提示：不要遗漏负号。
步骤 3/5
目标：对 $\int e^{x} \cos x \, dx$ 再次分部积分
令 $u = \cos x$，$dv = e^{x} dx$，则 $du = -\sin x \, dx$，$v = e^{x}$。分部积分得：
$$\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx$$
公式：\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx
提示：注意 $du$ 的符号，$\cos x$ 的导数是 $-\sin x$。
步骤 4/5
目标：写出定积分形式并代入边界
对等式两边取 $0$ 到 $\pi$ 的定积分：
$$\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = \left[ e^{x} \cos x \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x \, dx$$
计算边界：$e^{\pi} \cos \pi = e^{\pi} \cdot (-1) = -e^{\pi}$，$e^{0} \cos 0 = 1 \cdot 1 = 1$，所以：
$$\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = (-e^{\pi} - 1) + I$$
公式：\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx = -e^{\pi} - 1 + I
提示：注意 $\cos \pi = -1$，$\cos 0 = 1$，代入时要小心符号。
步骤 5/5
目标：代入 $I$ 的表达式并解方程
由第二步知 $I = -\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x \, dx$，代入上一步结果：
$$I = -\left( -e^{\pi} - 1 + I \right) = e^{\pi} + 1 - I$$
移项得：$I + I = e^{\pi} + 1$，即 $2I = e^{\pi} + 1$，所以：
$$I = \frac{e^{\pi} + 1}{2}$$
公式：2I = e^{\pi} + 1 \Rightarrow I = \frac{e^{\pi} + 1}{2}
提示：解方程时注意移项合并同类项，避免符号错误。
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