江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．求第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中，$L$ 为 $(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0$ 且 $r \neq 1)$ ，逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别被积表达式与向量场
将曲线积分改写为第二型曲线积分的形式：
\[
\oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \oint_L P\,dx + Q\,dy
\]
其中
\[
P(x,y) = \frac{-y}{x^2+y^2}, \quad Q(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}
\]
公式：P = -y/(x^2+y^2), Q = x/(x^2+y^2)
提示：注意符号：dy 对应 Q，dx 对应 P，且 P 前面是负号。
步骤 2/5
目标：计算偏导数，判断保守性
计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) + y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2+y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2+y^2)^2}
\]
可见在除去原点 (0,0) 的区域上，有
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}
\]
因此向量场在任意不包含原点的单连通区域上是保守场。
公式：∂Q/∂x = ∂P/∂y = (y^2 - x^2)/(x^2+y^2)^2
提示：原点 (0,0) 是被积函数的奇点，必须单独考虑。
步骤 3/5
目标：根据圆周与原点位置关系分类
圆周方程为 (x-1)^2 + y^2 = r^2，圆心在 (1,0)，半径为 r。原点 (0,0) 到圆心的距离为 1。
- 若 r < 1，圆周不包含原点，内部区域无奇点，由格林公式或保守场性质，积分值为 0。
- 若 r > 1，圆周包含原点，原点在内部，不能直接使用格林公式，需单独计算。
题目给定 r ≠ 1，故只考虑这两种情况。
公式：圆心距 d = 1，比较 d 与 r
提示：r = 1 时圆周经过原点，积分发散，题目已排除。
步骤 4/5
目标：计算 r > 1 时的积分值（挖洞法）
当 r > 1 时，原点在圆周内部。取以原点为中心、半径 ε 足够小的圆 C_ε，方向逆时针。由格林公式的挖洞原理，原积分等于沿 C_ε 的积分。
在 C_ε 上参数化：
\[
x = \varepsilon\cos\theta, \quad y = \varepsilon\sin\theta, \quad \theta: 0 \to 2\pi
\]
则
\[
dx = -\varepsilon\sin\theta\,d\theta, \quad dy = \varepsilon\cos\theta\,d\theta
\]
被积式化为：
\[
\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \frac{\varepsilon\cos\theta \cdot \varepsilon\cos\theta\,d\theta - \varepsilon\sin\theta \cdot (-\varepsilon\sin\theta\,d\theta)}{\varepsilon^2} = d\theta
\]
积分得：
\[
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
\]
公式：∮_{C_ε} (x dy - y dx)/(x^2+y^2) = ∫_0^{2π} dθ = 2π
提示：挖洞法要求小圆方向与原曲线方向一致（均为逆时针）。
步骤 5/5
目标：总结两种情况的结果
综合以上讨论：
- 当 0 < r < 1 时，圆周不包围原点，积分值为 0。
- 当 r > 1 时，圆周包围原点，积分值为 2π。
最终答案用分段函数表示。
公式：\boxed{\begin{cases} 0, & 01 \end{cases}}
提示：注意 r>0 且 r≠1，结果仅依赖于圆周是否包含原点。
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