江西师范大学 2024年数学分析第0题

已知 $[0,1] \times [0,1]$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的紧集（由 Heine-Borel 定理，闭有界集是紧集）。设 $\{U(P_\lambda, \delta_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$ 是 $[0,1] \times [0,1]$ 的一个开覆盖。需要证明：存在 $\delta > 0$，使得对任意 $P \in [0,1] \times [0,1]$，存在 $\lambda \in \Lambda$，满足 $U(P, \delta) \subset U(P_\lambda, \delta_\lambda)$。

由于 $[0,1] \times [0,1]$ 是紧集，且 $\{U(P_\lambda, \delta_\lambda)\}$ 是它的开覆盖，故存在有限子覆盖 $\{U(P_{\lambda_i}, \delta_{\lambda_i})\}_{i=1}^n$，即 $[0,1] \times [0,1] \subseteq \bigcup_{i=1}^n U(P_{\lambda_i}, \delta_{\lambda_i})$。

对任意 $P \in [0,1] \times [0,1]$，定义 $f(P) = \max_{1 \le i \le n} \big( \delta_{\lambda_i} - \|P - P_{\lambda_i}\| \big)$。由于每个 $P$ 至少属于一个开圆盘，故 $f(P) > 0$。函数 $f$ 是有限个连续函数的最大值，因此连续。在紧集 $[0,1] \times [0,1]$ 上，连续函数 $f$ 必有最小值，记为 $\delta_0 = \min_{P \in [0,1] \times [0,1]} f(P) > 0$。

取 $\delta = \delta_0 / 2 > 0$。对任意 $P \in [0,1] \times [0,1]$，由 $f(P) \ge \delta_0$ 知存在某个 $i$ 使得 $\delta_{\lambda_i} - \|P - P_{\lambda_i}\| \ge \delta_0$，即 $\|P - P_{\lambda_i}\| \le \delta_{\lambda_i} - \delta_0$。对任意 $Q \in U(P, \delta)$，有 $\|Q - P\| < \delta = \delta_0/2$。由三角不等式： $\|Q - P_{\lambda_i}\| \le \|Q - P\| + \|P - P_{\lambda_i}\| < \frac{\delta_0}{2} + (\delta_{\lambda_i} - \delta_0) = \delta_{\lambda_i} - \frac{\delta_0}{2} < \delta_{\lambda_i}$。 因此 $Q \in U(P_{\lambda_i}, \delta_{\lambda_i})$，即 $U(P, \delta) \subset U(P_{\lambda_i}, \delta_{\lambda_i})$。

由以上步骤，我们证明了在 $\{U(P_\lambda, \delta_\lambda)\}$ 构成 $[0,1] \times [0,1]$ 的开覆盖的条件下，存在 $\delta > 0$（即 Lebesgue 数），使得对任意 $P \in [0,1] \times [0,1]$，存在 $\lambda \in \Lambda$ 满足 $U(P, \delta) \subset U(P_\lambda, \delta_\lambda)$。这正是 Lebesgue 数引理在紧致度量空间中的具体应用。