江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．设 $\displaystyle \left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}(\Lambda$ 是一个指标集 $\displaystyle )$ 是 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 的一个无限开覆盖，证明下列问题（不可以直接用有限覆盖定理）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设不存在有限子覆盖，并构造闭矩形套
假设不存在有限子覆盖。将正方形 $Q=[0,1]\times[0,1]$ 等分为四个全等的小闭正方形，边长均为 $1/2$。若每个小正方形都能被有限个开集覆盖，则整个 $Q$ 也能被有限个开集覆盖，与假设矛盾。因此至少有一个小正方形不能被有限个开集覆盖，记它为 $Q_1$。再将 $Q_1$ 等分为四个更小的闭正方形，边长 $1/4$，同理得到 $Q_2$。重复此过程，得到一列闭正方形 $Q\supseteq Q_1\supseteq Q_2\supseteq\cdots$，每个 $Q_k$ 边长为 $1/2^k$，且都不能被有限个开集覆盖。
公式：$Q_k$ 边长 $= \frac{1}{2^k}$
提示：注意每次分割时，至少有一个子正方形不能被有限覆盖，这是反证法的关键。
步骤 2/4
目标：应用闭区间套定理得到极限点
由闭区间套定理（在二维情形也成立），存在唯一的一点 $(x_0,y_0)$ 属于所有这些 $Q_k$。
公式：$\bigcap_{k=1}^{\infty} Q_k = \{(x_0,y_0)\}$
提示：闭区间套定理要求闭集且直径趋于零，这里满足条件。
步骤 3/4
目标：利用开覆盖性质找到包含极限点的开集
因为原开覆盖覆盖整个 $Q$，所以存在某个开集 $U(P_\lambda,\delta_\lambda)$ 包含 $(x_0,y_0)$。由于它是开集，存在半径 $r>0$ 使得开圆盘 $B((x_0,y_0), r)$ 完全包含在这个开集内。
公式：$(x_0,y_0) \in U(P_\lambda,\delta_\lambda) \Rightarrow \exists r>0,\; B((x_0,y_0), r) \subseteq U(P_\lambda,\delta_\lambda)$
提示：开集的定义保证了存在一个以该点为中心的完全包含在开集内的开球。
步骤 4/4
目标：导出矛盾，完成证明
当 $k$ 足够大时，$Q_k$ 的直径 $\sqrt{2}/2^k < r$，并且 $(x_0,y_0)\in Q_k$，于是整个 $Q_k$ 都落在 $B((x_0,y_0), r)$ 内，从而被这一个开集覆盖。但这与 $Q_k$ 不能被有限个开集覆盖矛盾（因为一个开集也是有限个）。因此反证假设不成立，原覆盖必存在有限子覆盖。
公式：$\text{diam}(Q_k) = \frac{\sqrt{2}}{2^k} < r$ 当 $k > \log_2(\sqrt{2}/r)$
提示：注意直径与半径的比较，确保整个小正方形被包含在开球内。
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