江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三．判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 的一阶可导性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定级数的收敛域
考虑通项 $n e^{-n x}$，固定 $x$ 时为正项级数。使用根值判别法：
\[
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = \lim_{n\to\infty} n^{1/n} e^{-x} = e^{-x}.
\]
当 $e^{-x} < 1$ 即 $x > 0$ 时级数收敛；当 $x < 0$ 时 $e^{-x} > 1$，级数发散；当 $x = 0$ 时级数为 $\sum n$，发散。因此收敛域为 $(0, +\infty)$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = e^{-x}
提示：注意根值判别法适用于正项级数，且极限结果与 $x$ 有关。
步骤 2/5
目标：写出形式上的导函数级数
对原级数的通项逐项求导：
\[
\frac{d}{dx} \big( n e^{-n x} \big) = -n^2 e^{-n x}.
\]
因此形式上的导函数级数为
\[
\sum_{n=1}^\infty (-n^2 e^{-n x}) = -\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n x}.
\]
公式：\frac{d}{dx} (n e^{-n x}) = -n^2 e^{-n x}
提示：逐项求导前需验证一致收敛性，这里先形式地写出。
步骤 3/5
目标：验证导函数级数在任意闭区间上一致收敛
取任意闭区间 $[a, b] \subset (0, +\infty)$，其中 $a > 0$。当 $x \in [a, b]$ 时，有
\[
| -n^2 e^{-n x} | = n^2 e^{-n x} \le n^2 e^{-n a}.
\]
级数 $\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n a}$ 对固定的 $a>0$ 收敛（可用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2 e^{-(n+1)a}}{n^2 e^{-n a}} = e^{-a} < 1$）。由 Weierstrass 判别法，导函数级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：n^2 e^{-n x} \le n^2 e^{-n a}, \quad \sum n^2 e^{-n a} \text{ 收敛}
提示：Weierstrass 判别法要求优级数收敛，注意 $a>0$ 是保证优级数收敛的关键。
步骤 4/5
目标：应用逐项求导定理
原级数 $\sum n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内每点收敛（第一步），且每一项可导，导函数级数在任意闭区间 $[a,b]\subset(0,+\infty)$ 上一致收敛。根据函数项级数逐项求导定理，和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty n e^{-n x}$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $S'(x) = -\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n x}$。由于每一点都可包含在某个这样的闭区间内，故 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上每一点可导。
公式：S'(x) = -\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n x}
提示：逐项求导定理的条件：原级数在某点收敛，导函数级数一致收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
原级数 $\sum_{n=1}^\infty n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛，且和函数在 $(0,+\infty)$ 上具有一阶导数（实际上可任意阶可导），因此一阶可导。
提示：结论仅针对收敛域 $(0,+\infty)$，在 $x\le 0$ 上不讨论可导性。
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