江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \iiint_{1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}(p>0)$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将三重积分转化为球坐标形式
由于积分区域是球壳 $1 \le x^2+y^2+z^2 \le R^2$，且被积函数只依赖于 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，采用球坐标变换：
$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$，
雅可比行列式为 $r^2\sin\theta$，积分区域变为 $1 \le r \le R$，$0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \phi \le 2\pi$。
被积函数 $\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^p} = \frac{1}{r^{2p}}$。
公式：\iiint f\,dxdydz = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_1^R r^{-2p}\cdot r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi
提示：注意球坐标中体积元是 $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，不要遗漏 $r^2$ 因子。
步骤 2/4
目标：分离变量并计算角度部分的积分
将三重积分分解为角度部分和径向部分的乘积：
$$\iiint = \left(\int_0^{2\pi} d\phi\right)\left(\int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_1^R r^{2-2p}\,dr\right)$$
计算角度积分：
$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$，$\int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = 2$，
因此角度部分贡献因子 $4\pi$。
公式：I(R) = 4\pi \int_1^R r^{2-2p}\,dr
提示：角度积分是常数，不影响敛散性，只需关注径向积分。
步骤 3/4
目标：分析径向积分的敛散性（分情况讨论）
径向积分为 $\int_1^R r^{2-2p}\,dr$，其敛散性取决于指数 $2-2p$：
- 当 $2-2p > -1$，即 $p < \frac{3}{2}$ 时，原函数为 $\frac{r^{3-2p}}{3-2p}$，当 $R \to +\infty$ 时发散到无穷。
- 当 $2-2p < -1$，即 $p > \frac{3}{2}$ 时，积分收敛到 $\frac{1}{2p-3}$。
- 当 $2-2p = -1$，即 $p = \frac{3}{2}$ 时，积分为 $\int_1^R \frac{dr}{r} = \ln R$，发散到无穷。
公式：\int_1^R r^{\alpha}\,dr \text{ 收敛当且仅当 } \alpha < -1
提示：幂函数 $\int_1^{+\infty} r^{\alpha}\,dr$ 的收敛条件是 $\alpha < -1$，此处 $\alpha = 2-2p$。
步骤 4/4
目标：综合得出原积分的敛散性结论
由于角度部分贡献非零常数 $4\pi$，原三重积分的敛散性完全由径向积分决定：
- 当 $p > \frac{3}{2}$ 时，径向积分收敛，故原积分收敛。
- 当 $0 < p \le \frac{3}{2}$ 时，径向积分发散，故原积分发散。
公式：\lim_{R\to+\infty}\iiint_{1\le r^2\le R^2}\frac{dxdydz}{r^{2p}} \text{ 收敛 } \iff p > \frac{3}{2}
提示：注意 $p>0$ 是题目给定的条件，$p$ 等于 $\frac{3}{2}$ 时属于发散情形。
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