江西师范大学 2024年数学分析第0题

一般项为 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$。用比值法求收敛半径： $$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{1}{(n+1)(n+2)} }{ \frac{1}{n(n+1)} } = \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} = 1. $$ 所以收敛半径 $R = 1$。

当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$。利用裂项：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，部分和 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，故收敛。 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$，绝对值级数 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛，故绝对收敛。 因此收敛域为 $[-1, 1]$。

设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}$。利用恒等式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，得 $$ S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}. $$

第一个和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ 是经典麦克劳林级数，当 $|x|<1$ 时，有 $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x). $$

第二个和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}$ 改写为： $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{m=2}^\infty \frac{x^m}{m} = \frac{1}{x} \left( \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m} - x \right) = \frac{1}{x} \left( -\ln(1-x) - x \right). $$

将两个结果代入 $S(x)$： $$ S(x) = -\ln(1-x) - \frac{1}{x}\left( -\ln(1-x) - x \right) = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1 = 1 + \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \ln(1-x). $$ 此式对 $0<|x|<1$ 成立。

当 $x=0$ 时，原级数每一项均为0，故 $S(0)=0$。检查极限： $$ \lim_{x\to 0} \left[ 1 + \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \ln(1-x) \right] = \lim_{x\to 0} \left[ 1 + \frac{\ln(1-x)}{x} - \ln(1-x) \right] = 1 + (-1) - 0 = 0, $$ 所以可补充定义 $S(0)=0$，使和函数连续。

在 $x=1$ 处，由级数直接计算得 $S(1)=1$，且表达式极限也为1。在 $x=-1$ 处，代入得 $S(-1)=1+(-1-1)\ln 2 = 1-2\ln 2$，与级数直接计算一致。 因此和函数为： $$ S(x) = \begin{cases} 1 + \left( \dfrac{1}{x} - 1 \right) \ln(1-x), & x \in [-1,1]\setminus\{0\},\\ 0, & x=0. \end{cases} $$ 收敛域为 $[-1, 1]$。