江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．$f(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续且有界，$\displaystyle g(x, y)=\frac{|f(x, y)|}{1+x^{2}+y^{2}}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上是否有最大值？（有的话请证明，没有的话请举出反例并说明原因）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数g(x,y)的有界性和极限行为
已知$f(x,y)$在$\mathbb{R}^2$上连续且有界，故存在常数$M>0$，使得$|f(x,y)|\le M$对所有$(x,y)\in\mathbb{R}^2$成立。于是$0\le g(x,y)=\frac{|f(x,y)|}{1+x^2+y^2}\le\frac{M}{1+x^2+y^2}$。当$x^2+y^2\to\infty$时，分母$1+x^2+y^2\to\infty$，因此$\lim_{x^2+y^2\to\infty}g(x,y)=0$。
公式：0\le g(x,y)\le\frac{M}{1+x^2+y^2}
提示：注意分母恒正，且$g$非负，极限为0表明在无穷远处函数值可以任意小。
步骤 2/4
目标：构造紧集并利用连续函数的最大值定理
取原点处的函数值$g(0,0)=|f(0,0)|$，记$G_0=g(0,0)$。由于$\lim_{x^2+y^2\to\infty}g(x,y)=0$，对$\varepsilon=G_0+1$（或任意正数），存在$R>0$使得当$x^2+y^2>R^2$时，$g(x,y)
公式：G_R=\max_{(x,y)\in\overline{B(0,R)}}g(x,y)
提示：紧集上的连续函数必有最大值，这是分析中的基本定理。
步骤 3/4
目标：证明圆盘外的函数值小于圆盘内的最大值
由于$\lim_{x^2+y^2\to\infty}g(x,y)=0$，存在$R'>0$使得当$x^2+y^2>R'^2$时，$g(x,y)<\frac{G_R}{2}$（这里$G_R$是圆盘内的最大值，且$G_R>0$；若$G_R=0$则全局最大值就是0，显然存在）。取$R_0=\max\{R,R'\}$，则在圆盘$\overline{B(0,R_0)}$外，$g(x,y)<\frac{G_R}{2}
公式：\forall (x,y)\notin\overline{B(0,R_0)},\; g(x,y)
提示：关键在于利用极限性质选取足够大的半径，使圆外值小于圆内最大值，从而全局最大值在紧集上取到。
步骤 4/4
目标：总结并得出结论
由以上推理，$g(x,y)$在$\mathbb{R}^2$上连续，且在无穷远处趋于0，因此必在某个有界闭集（紧集）上达到最大值，该最大值即为全局最大值。故$g(x,y)$在$\mathbb{R}^2$上有最大值。
公式：\max_{(x,y)\in\mathbb{R}^2}g(x,y)=\max_{(x,y)\in\overline{B(0,R_0)}}g(x,y)
提示：注意：若$f$恒为零，则最大值是0，结论仍然成立。
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