江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八．1．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，证明 $\displaystyle g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与目标
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且有界，即存在常数 $M>0$，使得对所有 $x\in\mathbb{R}$，有 $|f(x)|\le M$。定义 $g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^2}$。要证明 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有最大值，即存在 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $g(x_0)=\sup_{x\in\mathbb{R}}g(x)$。
公式：g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^2}
提示：注意有界性给出 $|f(x)|\le M$，这是后续放缩的基础。
步骤 2/7
目标：分析函数性质：连续性及无穷远处行为
由于 $f$ 连续，绝对值函数连续，分母 $1+x^2$ 连续且恒正，故 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。由有界性得 $0\le g(x)\le \frac{M}{1+x^2}$。当 $|x|\to\infty$ 时，$\frac{M}{1+x^2}\to 0$，因此 $g(x)\to 0$。
公式：0\le g(x)\le \frac{M}{1+x^2},\quad \lim_{|x|\to\infty}g(x)=0
提示：无穷远处趋于0是构造紧集的关键。
步骤 3/7
目标：处理平凡情况：函数恒为零
若对所有 $x\in\mathbb{R}$ 有 $g(x)=0$，则最大值显然为0，且任意点都是最大值点，结论成立。
公式：g(x)\equiv 0
提示：不要遗漏这种特殊情况。
步骤 4/7
目标：非平凡情况：存在正函数值
若 $g(x)$ 不恒为零，则存在 $x_1\in\mathbb{R}$ 使得 $g(x_1)=a>0$。由 $\lim_{|x|\to\infty}g(x)=0$，存在 $N>0$，使得当 $|x|>N$ 时，$g(x)
公式：\exists N>0,\forall |x|>N: g(x)
提示：这里 $a$ 是一个正数，用于控制区间外函数值小于它。
步骤 5/7
目标：在闭区间上应用最大值定理
考虑闭区间 $[-N,N]$，$g(x)$ 在其上连续，由闭区间上连续函数必有最大值，设最大值点为 $x_0\in[-N,N]$，最大值为 $g(x_0)$。由于 $x_1\in[-N,N]$（否则 $|x_1|>N$ 会导致 $g(x_1)
公式：g(x_0)=\max_{x\in[-N,N]}g(x)\ge a
提示：注意 $x_1$ 必在 $[-N,N]$ 内，否则与 $N$ 的选取矛盾。
步骤 6/7
目标：证明该最大值即为整体最大值
对于任意 $x\in\mathbb{R}$，若 $|x|\le N$，则 $g(x)\le g(x_0)$；若 $|x|>N$，则 $g(x)
公式：\forall x\in\mathbb{R}, g(x)\le g(x_0)
提示：区间外函数值小于 $a$，而 $a$ 不超过区间内最大值，故整体最大值在区间内取到。
步骤 7/7
目标：综合结论
综合恒为零和非恒为零两种情况，$g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上总有最大值。证毕。
提示：证明的关键是利用无穷远处趋于0将问题转化为紧集上的最值问题。
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