江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六．$\displaystyle |f(x, y)| \leq F(x, y),(x, y) \in[0,1] \times[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y, \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N>0, \quad \sup _{x \in[0,1]} \int_{N}^{+\infty} F(x, y) d y<\varepsilon$ 。
（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛；
（2）叙述 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 一致收玫的柯西准则，并由此和（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和待证目标
已知对任意 $(x,y) \in [0,1] \times [0,+\infty)$ 有 $|f(x,y)| \le F(x,y)$，且积分 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 和 $\int_0^{+\infty} F(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上有定义。另外，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N>0$，使得 $\sup_{x\in[0,1]} \int_N^{+\infty} F(x,y)\,dy < \varepsilon$。需要证明：(1) $\int_0^{+\infty} F(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛；(2) 叙述 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 一致收敛的柯西准则，并由此和(1)证明 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：|f(x,y)| \le F(x,y), \quad \sup_{x\in[0,1]} \int_N^{+\infty} F(x,y)\,dy < \varepsilon
提示：注意 $F(x,y)$ 非负，因为它是绝对值的一个上界，通常可取非负函数。
步骤 2/4
目标：证明 $\int_0^{+\infty} F(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛
回忆含参变量广义积分一致收敛的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$，使得对所有 $x\in[0,1]$ 和任意 $b>a\ge A$，有 $\left|\int_a^b F(x,y)\,dy\right|<\varepsilon$。由于 $F(x,y)\ge 0$，绝对值可去掉。题设条件已给出：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N>0$，使得 $\sup_{x\in[0,1]} \int_N^{+\infty} F(x,y)\,dy < \varepsilon$。这意味着对任意 $x\in[0,1]$，有 $\int_N^{+\infty} F(x,y)\,dy < \varepsilon$。于是对任意 $b>a\ge N$，由 $F\ge 0$ 得 $\int_a^b F(x,y)\,dy \le \int_N^{+\infty} F(x,y)\,dy < \varepsilon$。该不等式与 $x$ 无关，因此满足一致收敛的柯西条件，故积分一致收敛。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in[0,1],\ \forall b>a\ge N:\ \int_a^b F(x,y)\,dy < \varepsilon
提示：关键是将 $\sup$ 条件转化为逐点不等式，并利用 $F\ge 0$ 将区间截断。
步骤 3/4
目标：叙述 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 一致收敛的柯西准则
含参变量广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛的柯西准则为：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$，使得对所有 $x\in[0,1]$ 和任意 $b>a\ge A$，都有 $\left|\int_a^b f(x,y)\,dy\right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists A>0,\ \forall x\in[0,1],\ \forall b>a\ge A:\ \left|\int_a^b f(x,y)\,dy\right| < \varepsilon
提示：注意与函数项级数柯西准则的类比，这里积分限是变量。
步骤 4/4
目标：利用(1)的结论和绝对值不等式证明 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 一致收敛
由(1)的证明，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N>0$，使得对所有 $x\in[0,1]$ 和任意 $b>a\ge N$，有 $\int_a^b F(x,y)\,dy < \varepsilon$。利用条件 $|f(x,y)| \le F(x,y)$，可得：$\left|\int_a^b f(x,y)\,dy\right| \le \int_a^b |f(x,y)|\,dy \le \int_a^b F(x,y)\,dy < \varepsilon$。该不等式对所有 $x\in[0,1]$ 成立，因此满足上述柯西准则，故 $\int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：\left|\int_a^b f(x,y)\,dy\right| \le \int_a^b |f(x,y)|\,dy \le \int_a^b F(x,y)\,dy < \varepsilon
提示：注意这里直接使用了(1)中得到的 $N$，无需重新寻找，体现了比较判别法的思想。
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