江西师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：存在子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{n_{k}}$ 绝对收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与目标
已知 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n| < \varepsilon$。
目标：构造一个子列 $\{a_{n_k}\}$，使得级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ 绝对收敛，即 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}| < \infty$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n > N: |a_n| < \varepsilon$$
提示：注意极限为0的定义中，$\varepsilon$ 可以取任意小的正数，这是构造的关键。
步骤 2/6
目标：确定构造子列的策略
我们希望子列的每一项绝对值足够小，使得其级数能被一个收敛的几何级数控制。
具体策略：令第 $k$ 项满足 $|a_{n_k}| < \frac{1}{2^k}$，则 $\sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}| < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1 < \infty$，从而绝对收敛。
由于极限为0，对每个 $\frac{1}{2^k}$ 都能找到足够大的下标使 $|a_n|$ 小于该值，因此可以依次选取。
公式：$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1$$
提示：几何级数的收敛性保证了控制的有效性；注意要保证每次选取的下标严格递增。
步骤 3/6
目标：第一步构造：选取第一个项
取 $\varepsilon_1 = \frac{1}{2}$。由极限定义，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N_1$ 时，$|a_n| < \frac{1}{2}$。
令 $n_1 > N_1$，则 $|a_{n_1}| < \frac{1}{2}$。
公式：$$\exists N_1, \forall n > N_1: |a_n| < \frac{1}{2}$$
提示：选取 $n_1$ 时只需大于 $N_1$ 即可，不必取最小，但必须保证下标存在。
步骤 4/6
目标：归纳构造：依次选取后续项
假设已选取 $n_1 < n_2 < \cdots < n_{k-1}$，且满足 $|a_{n_i}| < \frac{1}{2^i}$ 对 $i=1,\dots,k-1$ 成立。
现在构造第 $k$ 项：取 $\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}$。由极限定义，存在 $N_k > n_{k-1}$，使得当 $n > N_k$ 时，$|a_n| < \frac{1}{2^k}$。
令 $n_k > N_k$，则 $|a_{n_k}| < \frac{1}{2^k}$，且 $n_k > n_{k-1}$ 自然成立。
由数学归纳法，对所有 $k \in \mathbb{N}^+$ 均可构造出满足条件的 $n_k$。
公式：$$\forall k \in \mathbb{N}^+, \exists N_k > n_{k-1}, \forall n > N_k: |a_n| < \frac{1}{2^k}$$
提示：必须确保 $N_k > n_{k-1}$，这样才能保证新选取的 $n_k$ 大于之前的所有下标，从而子列下标严格递增。
步骤 5/6
目标：验证子列级数的绝对收敛性
由构造过程，对每个 $k$ 有 $|a_{n_k}| < \frac{1}{2^k}$。
因此，部分和 $S_m = \sum_{k=1}^m |a_{n_k}| < \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^m} < 1$。
部分和数列单调递增且有上界，故极限存在且有限，即 $\sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}|$ 收敛，从而原级数 $\sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ 绝对收敛。
公式：$$\sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}| \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1 < \infty$$
提示：比较判别法：若 $|a_{n_k}| \leq M_k$ 且 $\sum M_k$ 收敛，则 $\sum |a_{n_k}|$ 收敛。这里 $M_k = 1/2^k$。
步骤 6/6
目标：总结结论
我们利用 $\lim a_n = 0$ 的条件，通过逐步选取绝对值小于 $1/2^k$ 的项，构造了一个子列 $\{a_{n_k}\}$，使得 $\sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}|$ 被收敛的几何级数控制，从而绝对收敛。
因此，命题得证：存在子列 $\{a_{n_k}\}$ 使得 $\sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ 绝对收敛。
公式：$$\text{存在子列 } \{a_{n_k}\} \text{ 满足 } \sum_{k=1}^\infty |a_{n_k}| < \infty$$
提示：该结论是数列极限为0的一个经典应用，体现了“无穷小量可以选出一个快速衰减的子列”的思想。
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