河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、计算下列积分（每小题10分，共20分）
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{1+\tan x} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\arctan x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简被积函数
将 $\tan x$ 写为 $\frac{\sin x}{\cos x}$，则 $\frac{1}{1+\tan x} = \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}$。因此原积分化为 $\int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx$。
公式：\frac{1}{1+\tan x} = \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}
提示：注意 $\tan x$ 的定义域，化简时确保分母不为零。
步骤 2/8
目标：引入配对积分并建立方程组
令 $I = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx$，$J = \int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \, dx$。则 $I+J = \int 1 \, dx = x + C_1$。又 $I-J = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \, dx$，注意到分母的导数为 $\cos x - \sin x$，故 $I-J = \int \frac{(\cos x + \sin x)'}{\cos x + \sin x} \, dx = \ln|\cos x + \sin x| + C_2$。
公式：I+J = x, \quad I-J = \ln|\cos x + \sin x|
提示：配对积分法是处理 $\frac{a\cos x + b\sin x}{c\cos x + d\sin x}$ 形式积分的常用技巧。
步骤 3/8
目标：解出 I 并写出最终结果
两式相加得 $2I = x + \ln|\cos x + \sin x| + C$，所以 $I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln|\cos x + \sin x| + C$。
公式：\int \frac{1}{1+\tan x} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln|\sin x + \cos x| + C
提示：绝对值符号不能省略，因为 $\sin x + \cos x$ 可能为负。
步骤 4/8
目标：对第二题应用分部积分
令 $u = (\arctan x)^2$，$dv = x \, dx$，则 $du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。由分部积分公式得：$\int_0^1 x (\arctan x)^2 \, dx = \left. \frac{x^2}{2} (\arctan x)^2 \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} \, dx$。计算第一项：$x=1$ 时 $\frac{1}{2} \cdot (\frac{\pi}{4})^2 = \frac{\pi^2}{32}$，$x=0$ 时为 $0$，故第一项为 $\frac{\pi^2}{32}$。第二项化为 $-\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} \, dx$。
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，选择 $u$ 为 $\arctan x$ 的幂次，$dv$ 为多项式，可逐步降低幂次。
步骤 5/8
目标：化简第二项积分中的分式
由于 $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$，所以 $\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 \arctan x \, dx - \int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx$。
公式：\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}
提示：这种分式拆分是处理有理函数与反三角函数乘积积分的常用技巧。
步骤 6/8
目标：计算第一个子积分 $\int_0^1 \arctan x \, dx$
令 $u = \arctan x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{dx}{1+x^2}$，$v = x$。于是 $\int_0^1 \arctan x \, dx = \left. x \arctan x \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)\big|_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$。
公式：\int_0^1 \arctan x \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2
提示：计算 $\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ 时，注意使用凑微分法，结果为 $\frac{1}{2} \ln(1+x^2)$。
步骤 7/8
目标：计算第二个子积分 $\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx$
令 $t = \arctan x$，则 $dt = \frac{dx}{1+x^2}$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{4}$。于是 $\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \int_0^{\pi/4} t \, dt = \frac{1}{2} t^2 \big|_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{32}$。
公式：\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi^2}{32}
提示：换元法处理 $\frac{\arctan x}{1+x^2}$ 非常有效，注意积分限的对应变换。
步骤 8/8
目标：代回并整理最终结果
由步骤5、6、7得：$\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} \, dx = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2\right) - \frac{\pi^2}{32}$。因此原积分第二部分为 $-\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi^2}{32}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{\pi^2}{32}$。加上第一部分 $\frac{\pi^2}{32}$，得原积分 $= \frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$。
公式：\int_0^1 x (\arctan x)^2 \, dx = \frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2
提示：注意符号运算，分部积分后的负号与后续积分的正负号要仔细合并。
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