河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、（16 分）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对 z 直接求导，得到含 dy/dx 的表达式
由链式法则，对 $z = x^2 + y^2$ 两边对 $x$ 求导，得：
$$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx}$$
公式：$$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx}$$
提示：注意 y 是 x 的函数，求导时不要漏掉对 y 的链式法则项。
步骤 2/5
目标：从隐式方程求 dy/dx
对方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 两边对 $x$ 求导：
$$2x - \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
整理得：
$$(2y - x) \frac{dy}{dx} = y - 2x$$
解得：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$$
公式：$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$$
提示：对 $xy$ 求导时，要用乘积法则：$(xy)' = y + x y'$，不要遗漏项。
步骤 3/5
目标：代入 dy/dx 得到 dz/dx 并化简
将 $\frac{dy}{dx}$ 代入 $\frac{dz}{dx}$ 表达式：
$$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{y - 2x}{2y - x}$$
通分合并：
$$\frac{dz}{dx} = \frac{2x(2y - x) + 2y(y - 2x)}{2y - x} = \frac{4xy - 2x^2 + 2y^2 - 4xy}{2y - x} = \frac{2(y^2 - x^2)}{2y - x}$$
公式：$$\frac{dz}{dx} = \frac{2(y^2 - x^2)}{2y - x}$$
提示：分子合并时注意 $4xy$ 与 $-4xy$ 抵消，化简要仔细。
步骤 4/5
目标：准备求二阶导数，计算 M' 和 N'
令 $M = 2(y^2 - x^2)$，$N = 2y - x$，则 $\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{M'N - M N'}{N^2}$。
先求 $M'$：
$$M' = 4y \frac{dy}{dx} - 4x = 4y \cdot \frac{y - 2x}{2y - x} - 4x = \frac{4y(y - 2x) - 4x(2y - x)}{2y - x} = \frac{4(x^2 - 4xy + y^2)}{2y - x}$$
再求 $N'$：
$$N' = 2 \frac{dy}{dx} - 1 = 2 \cdot \frac{y - 2x}{2y - x} - 1 = \frac{2(y - 2x) - (2y - x)}{2y - x} = \frac{-3x}{2y - x}$$
公式：$$M' = \frac{4(x^2 - 4xy + y^2)}{2y - x}, \quad N' = \frac{-3x}{2y - x}$$
提示：求 $M'$ 时注意 $y^2$ 的导数是 $2y y'$，不要写成 $2y$。
步骤 5/5
目标：代入二阶导数公式并化简
代入公式：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{M'N - M N'}{N^2} = \frac{\frac{4(x^2 - 4xy + y^2)}{2y - x} \cdot (2y - x) - 2(y^2 - x^2) \cdot \frac{-3x}{2y - x}}{(2y - x)^2}$$
第一项化简为 $4(x^2 - 4xy + y^2)$，第二项为 $\frac{6x(y^2 - x^2)}{2y - x}$，通分后分子为：
$$4(x^2 - 4xy + y^2)(2y - x) + 6x(y^2 - x^2)$$
展开并合并同类项：
第一项展开：$4(-x^3 + 6x^2y - 9xy^2 + 2y^3) = -4x^3 + 24x^2y - 36xy^2 + 8y^3$
加上第二项 $6xy^2 - 6x^3$ 得：
$$-10x^3 + 24x^2y - 30xy^2 + 8y^3 = 2(-5x^3 + 12x^2y - 15xy^2 + 4y^3)$$
因此：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(-5x^3 + 12x^2y - 15xy^2 + 4y^3)}{(2y - x)^3}$$
公式：$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(-5x^3 + 12x^2y - 15xy^2 + 4y^3)}{(2y - x)^3}$$
提示：展开多项式时注意符号和合并同类项，避免计算错误。最终结果可以保留因式分解形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。