河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）若 $\displaystyle 0<x_{1}<2$ 且 $\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left(2-x_{n}\right)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析递推式的函数性质
设函数 $f(x) = x(2-x) = 2x - x^2$，这是一个开口向下的二次函数，对称轴为 $x=1$，最大值为 $f(1)=1$。且 $f(0)=0$，$f(2)=0$。因此当 $x \in (0,2)$ 时，有 $0 < f(x) \leq 1$。
公式：f(x)=x(2-x)
提示：注意函数在区间(0,2)内的值域为(0,1]，这是后续判断数列范围的基础。
步骤 2/6
目标：确定数列的取值范围
已知 $0 < x_1 < 2$，则 $x_2 = f(x_1) \in (0,1]$。由于 $x_2$ 属于 $(0,1]$，再次应用递推，$x_3 = f(x_2) \in (0,1]$。由数学归纳法可知，对所有 $n \geq 2$，有 $0 < x_n \leq 1$。
公式：x_{n+1}=x_n(2-x_n)
提示：注意 $x_1$ 可能大于1，但第二项之后所有项都落在(0,1]内，这是单调性分析的前提。
步骤 3/6
目标：证明数列的单调性
考虑相邻两项的差：$x_{n+1} - x_n = x_n(2-x_n) - x_n = x_n(1-x_n)$。当 $n \geq 2$ 时，$0 < x_n \leq 1$，因此 $x_n > 0$ 且 $1-x_n \geq 0$，故 $x_{n+1} - x_n \geq 0$。特别地，若 $x_n < 1$，则差为正，数列严格递增；若 $x_n = 1$，则差为0，之后所有项恒为1。因此从第二项起数列单调递增。
公式：x_{n+1} - x_n = x_n(1-x_n)
提示：单调性的判断依赖于 $x_n$ 是否小于1，注意 $x_n=1$ 是稳定点。
步骤 4/6
目标：证明数列收敛
由前两步可知，数列 $\{x_n\}_{n \geq 2}$ 单调递增且有上界1。根据单调有界定理，数列收敛。设极限为 $L$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$。
公式：单调有界定理
提示：收敛性证明中，上界1是关键，注意数列从第二项开始才具有单调性。
步骤 5/6
目标：求极限值
在递推式 $x_{n+1} = x_n(2-x_n)$ 两边取极限，由于函数 $f(x)=x(2-x)$ 连续，得 $L = L(2-L)$。整理得 $L = 2L - L^2$，即 $L^2 - L = 0$，解得 $L=0$ 或 $L=1$。由于从第二项起 $x_n > 0$ 且单调递增，且 $x_2 = x_1(2-x_1) > 0$，若 $L=0$ 则数列必须从某处开始趋于0，与递增的正数列矛盾，故舍去。因此 $L=1$。
公式：L = L(2-L) \Rightarrow L^2 - L = 0
提示：排除 $L=0$ 时需结合单调递增和初始项为正的条件，不能仅凭代数方程判断。
步骤 6/6
目标：得出结论
数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限为 $1$。
公式：\lim_{n \to \infty} x_n = 1
提示：最终答案需明确收敛性和极限值。
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