河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、计算下列极限（每小题10分，共20分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln (1+x)}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)+\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)+\cdots+\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第（1）题极限类型并取对数
考虑极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln(1+x)}}$。当 $x \to 0$ 时，底数 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，指数 $\frac{1}{x \ln(1+x)} \to \infty$，因此这是 $1^\infty$ 型未定式。令 $y = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln(1+x)}}$，两边取自然对数得：
$$\ln y = \frac{1}{x \ln(1+x)} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)$$
公式：$\ln y = \frac{\ln(\sin x / x)}{x \ln(1+x)}$
提示：遇到 $1^\infty$ 型极限，优先考虑取对数转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型。
步骤 2/6
目标：展开分子 $\ln(\sin x / x)$
利用 $\sin x$ 的泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，则 $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$。再对 $\ln(1+u)$ 展开（其中 $u = -\frac{x^2}{6} + o(x^2)$）：
$$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right) \sim -\frac{x^2}{6} \quad (x \to 0)$$
公式：$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right) \sim -\frac{x^2}{6}$
提示：注意 $\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$，但需确保 $u$ 的主项准确。
步骤 3/6
目标：展开分母 $x \ln(1+x)$
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此分母：
$$x \ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2$$
公式：$x \ln(1+x) \sim x^2$
提示：等价无穷小替换时，注意分子分母需同时替换为同阶无穷小。
步骤 4/6
目标：计算第（1）题极限
将分子和分母的等价无穷小代入 $\ln y$ 的表达式：
$$\ln y \sim \frac{-\frac{x^2}{6}}{x^2} = -\frac{1}{6}$$
因此 $\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{1}{6}$，从而原极限为：
$$\lim_{x \to 0} y = e^{-1/6}$$
公式：$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln(1+x)}} = e^{-1/6}$
提示：取对数后极限存在，则原极限为指数形式，注意不要遗漏指数函数。
步骤 5/6
目标：化简第（2）题的和式
考虑极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n \left(1 + \frac{k^2}{n^2}\right)}$。先计算和式：
$$S_n = \sum_{k=1}^n 1 + \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k^2 = n + \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
化简得：
$$S_n = n + \frac{(n+1)(2n+1)}{6n} = n + \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n} = n + \frac{n}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6n} = \frac{4n}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6n}$$
公式：$S_n = \frac{4n}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6n}$
提示：求和公式 $\sum_{k=1}^n k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ 需熟记，化简时注意通分。
步骤 6/6
目标：计算第（2）题极限
原极限为 $\lim_{n \to \infty} S_n^{1/n}$。当 $n \to \infty$ 时，$S_n \sim \frac{4n}{3}$，因此：
$$\lim_{n \to \infty} S_n^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n}{3}\right)^{1/n}$$
由于 $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$ 且 $\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$（$a>0$），故：
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n}{3}\right)^{1/n} = 1$$
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{S_n} = 1$
提示：对于 $n$ 次根号极限，常用结论 $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$ 和 $\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$。
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