河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
五、（16 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，求积分
$$
I=\int_{L}^{1+y^{2} f(x y)} \frac{\mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y,}{y}
$$
其中 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的直线段．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理积分表达式并写出P和Q
将积分整理为标准形式：
$$I = \int_L \frac{1 + y^2 f(xy)}{y} \, dx + \frac{x}{y^2} \left[ y^2 f(xy) - 1 \right] dy$$
记
$$P(x,y) = \frac{1 + y^2 f(xy)}{y} = \frac{1}{y} + y f(xy)$$
$$Q(x,y) = \frac{x}{y^2} \left[ y^2 f(xy) - 1 \right] = x f(xy) - \frac{x}{y^2}$$
公式：P = \frac{1}{y} + y f(xy), \quad Q = x f(xy) - \frac{x}{y^2}
提示：注意化简时不要遗漏项，特别是f(xy)中的自变量是乘积形式。
步骤 2/5
目标：检验是否为恰当微分形式
计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} + f(xy) + x y f'(xy)$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = f(xy) + x y f'(xy) - \frac{1}{y^2}$$
两者相等，故该微分形式是恰当的。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
提示：求导时注意链式法则：对f(xy)关于y求导得x f'(xy)，关于x求导得y f'(xy)。
步骤 3/5
目标：寻找势函数F(x,y)（对x积分）
由 $$\frac{\partial F}{\partial x} = P = \frac{1}{y} + y f(xy)$$
对x积分：
$$F(x,y) = \int \left( \frac{1}{y} + y f(xy) \right) dx = \frac{x}{y} + \int y f(xy) dx$$
令u=xy，则dx = du/y，得
$$\int y f(xy) dx = \int f(u) du = g(xy)$$
其中g是f的一个原函数，即g'(t)=f(t)。所以
$$F(x,y) = \frac{x}{y} + g(xy) + C(y)$$
公式：F(x,y) = \frac{x}{y} + g(xy) + C(y)
提示：换元积分时注意变量替换的细节，不要忘记除以y。
步骤 4/5
目标：利用对y的偏导确定C(y)
对F关于y求偏导：
$$\frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} + g'(xy) \cdot x + C'(y) = -\frac{x}{y^2} + x f(xy) + C'(y)$$
令其等于Q：
$$x f(xy) - \frac{x}{y^2} = -\frac{x}{y^2} + x f(xy) + C'(y)$$
得C'(y)=0，故C(y)为常数，可取0。因此势函数为
$$F(x,y) = \frac{x}{y} + g(xy)$$
公式：F(x,y) = \frac{x}{y} + g(xy)
提示：比较等式时注意消去相同项，C'(y)=0说明势函数与y无关的附加项为常数。
步骤 5/5
目标：利用势函数计算路径积分
由于是恰当微分，积分与路径无关，只取决于端点：
$$I = F(B) - F(A)$$
计算端点值：
点B(1,2)：$$F(1,2) = \frac{1}{2} + g(2)$$
点A(3,2/3)：$$F\left(3,\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2/3} + g\left(3 \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{9}{2} + g(2)$$
因此
$$I = \left(\frac{1}{2} + g(2)\right) - \left(\frac{9}{2} + g(2)\right) = -4$$
公式：I = F(B) - F(A) = -4
提示：注意g(2)项相互抵消，最终结果与f的具体形式无关，这是恰当微分的典型特征。
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