河南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八、（16 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x), \psi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \varphi^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) \psi^{\prime}(\xi)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析待证等式，构造辅助函数
要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\varphi'(\xi) + \varphi(\xi) \psi'(\xi) = 0$，观察该表达式，它类似于某个函数导数的形式。考虑构造辅助函数 $F(x) = \varphi(x) e^{\psi(x)}$，因为其导数恰好包含所需项。
公式：$F(x) = \varphi(x) e^{\psi(x)}$
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式乘以一个非零因子（如 $e^{\psi(x)}$）以凑出导数形式。
步骤 2/4
目标：计算辅助函数的导数
对 $F(x)$ 求导：$F'(x) = \varphi'(x) e^{\psi(x)} + \varphi(x) e^{\psi(x)} \psi'(x) = e^{\psi(x)} [\varphi'(x) + \varphi(x) \psi'(x)]$。由于指数函数 $e^{\psi(x)} > 0$ 恒成立，因此 $F'(x)=0$ 当且仅当 $\varphi'(x) + \varphi(x) \psi'(x)=0$。
公式：$F'(x) = e^{\psi(x)} [\varphi'(x) + \varphi(x) \psi'(x)]$
提示：注意求导时使用乘积法则，并确保指数函数因子不为零。
步骤 3/4
目标：验证辅助函数满足罗尔定理条件
已知 $\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，故 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。又 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$，所以 $F(a)=\varphi(a)e^{\psi(a)}=0$，$F(b)=\varphi(b)e^{\psi(b)}=0$，即 $F(a)=F(b)$。
公式：$F(a)=0,\ F(b)=0$
提示：验证罗尔定理条件时，需检查连续性、可导性以及端点函数值相等。
步骤 4/4
目标：应用罗尔定理得出结论
由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。代入导数表达式得 $e^{\psi(\xi)} [\varphi'(\xi) + \varphi(\xi) \psi'(\xi)] = 0$。由于 $e^{\psi(\xi)} > 0$，故 $\varphi'(\xi) + \varphi(\xi) \psi'(\xi) = 0$，证毕。
公式：$\varphi'(\xi) + \varphi(\xi) \psi'(\xi) = 0$
提示：指数函数恒正，可直接约去，无需额外讨论。
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