河南师范大学 2024年数学分析第0题

函数定义为 \[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{4}, & -\pi \le x < 0,\\[6pt] \dfrac{\pi}{4}, & 0 \le x \le \pi. \end{cases} \] 检查奇偶性：当 $x<0$ 时 $f(x)=-\pi/4$，当 $x>0$ 时 $f(x)=\pi/4$，故 $f(-x) = -f(x)$ 几乎处处成立，因此 $f(x)$ 是奇函数。

对于周期为 $2\pi$ 的奇函数，傅里叶级数只含正弦项： \[ f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx), \] 其中系数 \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\,dx. \] 由于 $f(x)\sin(nx)$ 是偶函数（奇函数乘奇函数），可简化为 \[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx)\,dx. \]

在 $[0,\pi]$ 上 $f(x)=\pi/4$，代入得 \[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{4} \sin(nx)\,dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(nx)\,dx. \] 计算积分： \[ \int_{0}^{\pi} \sin(nx)\,dx = \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos 0}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}. \] 因此 \[ b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}. \]

当 $n$ 为偶数时，$1-(-1)^n=0$，故 $b_n=0$； 当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1$，则 $1-(-1)^{2k-1}=2$，于是 \[ b_{2k-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2k-1} = \frac{1}{2k-1}. \] 因此傅里叶级数为 \[ f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} \sin\big((2k-1)x\big). \] 在间断点处级数收敛到左右极限的平均值，符合狄利克雷条件。

取 $x = \frac{\pi}{2}$，该点处函数连续且值为 $\pi/4$，代入傅里叶级数： \[ \frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} \sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right). \] 计算正弦值： \[ \sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = \begin{cases} 1, & 2k-1 \equiv 1 \pmod{4},\\ -1, & 2k-1 \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} \] 即 $k=1$ 时 $\sin(\pi/2)=1$，$k=2$ 时 $\sin(3\pi/2)=-1$，$k=3$ 时 $\sin(5\pi/2)=1$，以此类推。因此 \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots. \]