湖南大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．解答如下问题：
（1）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle 0<p<1,0<x_{1}<\frac{1}{p}, x_{n+1}=x_{n}\left(1-p x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{p}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列单调递减且极限为0
由 $0 < x_1 < 1$，得 $x_2 = x_1(1-x_1) > 0$，且 $x_2 < x_1$。假设 $0 < x_n < 1$，则 $x_{n+1} = x_n(1-x_n)$ 满足 $0 < x_{n+1} < x_n < 1$，故数列严格递减且有下界0，极限存在。设极限为 $L$，由递推式 $L = L(1-L)$ 解得 $L=0$。
公式：$x_{n+1} = x_n(1-x_n)$
提示：注意验证递推式保持区间 $(0,1)$ 不变，且单调性由 $1-x_n<1$ 保证。
步骤 2/6
目标：推导倒数差分的极限
计算 $\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n(1-x_n)} = \frac{1}{x_n} \cdot \frac{1}{1-x_n}$。当 $x_n \to 0$ 时，展开 $\frac{1}{1-x_n} = 1 + x_n + O(x_n^2)$，代入得 $\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n} + 1 + O(x_n)$，因此 $\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} \to 1$。
公式：$\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} = 1 + O(x_n)$
提示：展开时注意 $x_n$ 趋于0，高阶项可忽略，但需说明收敛性。
步骤 3/6
目标：应用Stolz定理求极限
考虑 $\lim_{n\to\infty} n x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1/x_n}$。令 $a_n=n$, $b_n=1/x_n$，则 $b_n$ 严格递增趋于无穷。由Stolz定理：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{1/x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)-n}{1/x_{n+1} - 1/x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1/x_{n+1} - 1/x_n} = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1/x_{n+1} - 1/x_n} = 1$
提示：Stolz定理要求分母单调趋于无穷，需验证 $1/x_n$ 严格递增且趋于无穷。
步骤 4/6
目标：证明第二问中数列单调递减且极限为0
由 $0 < x_1 < 1/p$，得 $x_2 = x_1(1-p x_1) > 0$，且 $x_2 < x_1$。假设 $0 < x_n < 1/p$，则 $x_{n+1} = x_n(1-p x_n)$ 满足 $0 < x_{n+1} < x_n < 1/p$，故数列严格递减且有下界0，极限存在。设极限为 $L$，由 $L = L(1-pL)$ 解得 $L=0$。
公式：$x_{n+1} = x_n(1-p x_n)$
提示：注意 $p<1$ 保证 $1/p > 1$，但区间 $(0,1/p)$ 仍包含 $(0,1)$。
步骤 5/6
目标：推导第二问中倒数差分的极限
计算 $\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n(1-p x_n)} = \frac{1}{x_n} \cdot \frac{1}{1-p x_n}$。当 $x_n \to 0$ 时，展开 $\frac{1}{1-p x_n} = 1 + p x_n + O(x_n^2)$，代入得 $\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n} + p + O(x_n)$，因此 $\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} \to p$。
公式：$\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} = p + O(x_n)$
提示：展开时注意系数 $p$ 的出现，与第一问类似但极限不同。
步骤 6/6
目标：应用Stolz定理求第二问的极限
考虑 $\lim_{n\to\infty} n x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{1/x_n}$。令 $b_n=1/x_n$，由Stolz定理：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{1/x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1/x_{n+1} - 1/x_n} = \frac{1}{p}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n x_n = \frac{1}{p}$
提示：注意分母极限为 $p$，需确保 $p>0$。
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