湖南大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，什么情况下方程 $\displaystyle f(x) y=g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上确定了唯一的连续解？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程视为关于y的代数方程，分析每一点的情况
对于固定的 $x \in (a,b)$，方程 $f(x)y = g(x)$ 是关于 $y$ 的线性代数方程。若 $f(x) \neq 0$，则可唯一解出 $y = \frac{g(x)}{f(x)}$；若 $f(x) = 0$，则方程变为 $0 \cdot y = g(x)$，此时若 $g(x) \neq 0$ 则无解，若 $g(x) = 0$ 则 $y$ 可取任意实数，解不唯一。
公式：f(x)y = g(x)
提示：注意区分代数方程的解与函数方程的解，这里每个x对应一个y值。
步骤 2/4
目标：讨论存在连续解的必要条件
若存在某点 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $f(x_0) = 0$，则为了方程有解，必须 $g(x_0) = 0$。但此时在该点 $y$ 可以取任意值，即使通过连续性可能确定一个值，但方程本身无法唯一确定 $y$（例如 $f(x)=x$，$g(x)=0$ 在 $x=0$ 处 $y$ 任意，但若要求连续，则 $y$ 必须为0，然而此时 $y$ 的表达式 $g(x)/f(x)$ 在 $x=0$ 处无定义，需要补充定义，且若 $f$ 变号，极限可能不唯一）。因此，要保证方程本身在整个区间上唯一确定一个连续函数，必须避免 $f(x)=0$ 的情形。
公式：f(x_0)=0 \Rightarrow g(x_0)=0 \text{ 且解不唯一}
提示：即使 $g(x_0)=0$，解也不唯一，因为 $y$ 可以任意取值，除非附加连续性条件，但题目要求方程本身确定唯一连续解。
步骤 3/4
目标：推导充分条件
若对一切 $x \in (a,b)$ 都有 $f(x) \neq 0$，则方程可化为 $y = \frac{g(x)}{f(x)}$。由于 $f$ 和 $g$ 在 $(a,b)$ 上连续，且分母 $f(x)$ 处处非零，故 $\frac{g(x)}{f(x)}$ 也在 $(a,b)$ 上连续。因此，该表达式给出了唯一的连续解。
公式：y = \frac{g(x)}{f(x)} \quad (f(x) \neq 0)
提示：连续函数相除，分母不为零时仍连续。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
综合以上分析，方程 $f(x)y = g(x)$ 在 $(a,b)$ 上确定唯一的连续解的充要条件是：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上恒不为零。此时解为 $y = \frac{g(x)}{f(x)}$。
公式：\forall x \in (a,b),\ f(x) \neq 0 \iff \text{存在唯一连续解 } y = \frac{g(x)}{f(x)}
提示：注意区间是开区间，端点处的情况不影响，因为只要求在开区间内连续。
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