湖南大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle \alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解一致收敛的定义
含参量积分 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \, dx$ 在 $\alpha \in [0, +\infty)$ 上一致收敛，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 0$（与 $\alpha$ 无关），使得对所有 $b > a \ge A$ 和所有 $\alpha \ge 0$，都有 $\left| \int_a^b e^{-\alpha x} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists A>0, \forall b>a\ge A, \forall \alpha\ge0: \left|\int_a^b e^{-\alpha x}f(x)dx\right|<\varepsilon
提示：注意一致收敛要求 $A$ 与 $\alpha$ 无关，这是与逐点收敛的关键区别。
步骤 2/5
目标：必要性证明：由含参量积分一致收敛推出 $\int_0^\infty f(x)dx$ 收敛
由于含参量积分在 $\alpha \in [0,+\infty)$ 上一致收敛，特别地，取 $\alpha=0$，则积分 $\int_0^{+\infty} e^{0} f(x) dx = \int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛（一致收敛必然推出每点收敛）。因此 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛。
公式：\left.\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) dx\right|_{\alpha=0} = \int_0^{+\infty} f(x) dx \text{ 收敛}
提示：直接代入 $\alpha=0$ 即可，但需注意一致收敛的定义域包含 $\alpha=0$。
步骤 3/5
目标：充分性准备：引入余项函数并分部积分
已知 $\int_0^\infty f(x) dx$ 收敛，记 $F(t) = \int_t^\infty f(x) dx$，则 $\lim_{t\to\infty} F(t)=0$，且 $F'(t) = -f(t)$。对任意 $b>a\ge0$，利用分部积分：
$$\int_a^b e^{-\alpha x} f(x) dx = \int_a^b e^{-\alpha x} (-F'(x)) dx = -\left[e^{-\alpha x}F(x)\right]_a^b + \int_a^b (-\alpha)e^{-\alpha x}F(x)dx$$
整理得：
$$\int_a^b e^{-\alpha x} f(x) dx = e^{-\alpha a}F(a) - e^{-\alpha b}F(b) - \alpha\int_a^b e^{-\alpha x}F(x)dx$$
公式：\int_a^b e^{-\alpha x} f(x) dx = e^{-\alpha a}F(a) - e^{-\alpha b}F(b) - \alpha\int_a^b e^{-\alpha x}F(x)dx
提示：分部积分时注意符号，$F(x)$ 是余项函数，其导数带负号。
步骤 4/5
目标：充分性证明：利用余项的有界性进行一致估计
由 $\lim_{t\to\infty}F(t)=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$，当 $x\ge X$ 时，$|F(x)|<\varepsilon$。取 $a,b\ge X$，则：
1. $|e^{-\alpha a}F(a)| \le |F(a)| < \varepsilon$
2. $|e^{-\alpha b}F(b)| \le |F(b)| < \varepsilon$
3. 对于积分项：$\left|\alpha\int_a^b e^{-\alpha x}F(x)dx\right| \le \alpha\int_a^b e^{-\alpha x}|F(x)|dx \le \varepsilon \cdot \alpha\int_a^b e^{-\alpha x}dx = \varepsilon(e^{-\alpha a}-e^{-\alpha b}) \le \varepsilon$
因此，当 $a,b\ge X$ 时，$\left|\int_a^b e^{-\alpha x}f(x)dx\right| < 3\varepsilon$，该估计对一切 $\alpha\ge0$ 成立，且 $X$ 仅依赖于 $\varepsilon$，故一致收敛。
公式：\left|\int_a^b e^{-\alpha x}f(x)dx\right| \le |F(a)|+|F(b)|+\varepsilon(e^{-\alpha a}-e^{-\alpha b}) < 3\varepsilon
提示：关键步骤：利用 $\alpha\int_a^b e^{-\alpha x}dx = e^{-\alpha a}-e^{-\alpha b} \le 1$ 消去 $\alpha$ 的影响，保证估计与 $\alpha$ 无关。
步骤 5/5
目标：结论总结
必要性：由一致收敛取 $\alpha=0$ 得 $\int_0^\infty f(x)dx$ 收敛。充分性：由 $\int_0^\infty f(x)dx$ 收敛，通过分部积分和余项估计，证明含参量积分在 $\alpha\in[0,+\infty)$ 上一致收敛。因此充要条件成立。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x}f(x)dx \text{ 在 } [0,+\infty) \text{ 上一致收敛} \iff \int_0^{+\infty} f(x)dx \text{ 收敛}
提示：充分性证明中，分部积分技巧和 $\alpha\int e^{-\alpha x}dx \le 1$ 的放缩是核心。
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