湖南大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．计算曲面积分
$$
\iint_{S} x y z\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 在第一卦限的部分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分区域和被积函数，并利用球坐标参数化曲面
曲面 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 在第一卦限的部分，即 $x\ge0, y\ge0, z\ge0$。被积函数为 $f(x,y,z)=xyz(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$。采用球坐标参数化：
$$x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = a\sin\theta\sin\phi,\quad z = a\cos\theta,$$
其中 $\theta\in[0,\pi/2],\ \phi\in[0,\pi/2]$。球面上的面积元为 $\mathrm{d}S = a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。
公式：x = a\sin\theta\cos\phi,\ y = a\sin\theta\sin\phi,\ z = a\cos\theta,\ \mathrm{d}S = a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
提示：注意第一卦限对应角度范围均为 $[0,\pi/2]$，不要遗漏边界。
步骤 2/5
目标：将被积函数用球坐标表示并化简
先计算 $xyz = a^3\sin^2\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi$。再计算括号内：
$$x^2y^2 = a^4\sin^4\theta\cos^2\phi\sin^2\phi,$$
$$y^2z^2 = a^4\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\theta,$$
$$z^2x^2 = a^4\sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\theta.$$
合并后两项得 $\cos^2\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=\cos^2\theta$，因此括号内为
$$a^4\sin^2\theta\left(\sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\phi+\cos^2\theta\right).$$
整体被积函数为
$$f = a^7\sin^4\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi\left(\sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\phi+\cos^2\theta\right).$$
公式：f = a^7\sin^4\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi\left(\sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\phi+\cos^2\theta\right)
提示：合并 $y^2z^2+z^2x^2$ 时利用 $\sin^2\phi+\cos^2\phi=1$ 简化计算。
步骤 3/5
目标：将曲面积分化为累次积分并拆分为两项
代入面积元 $\mathrm{d}S = a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$，得
$$I = a^9\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi\left(\sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\phi+\cos^2\theta\right)\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.$$
拆分为两个积分：
$$I_1 = a^9\int_0^{\pi/2}\sin^7\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\sin^3\phi\cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi,$$
$$I_2 = a^9\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,\mathrm{d}\phi.$$
公式：I = I_1 + I_2 = a^9\left(\int\sin^7\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\int\sin^3\phi\cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi + \int\sin^5\theta\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta\int\sin\phi\cos\phi\,\mathrm{d}\phi\right)
提示：拆分时注意将 $\theta$ 和 $\phi$ 的积分因子分离，利用乘积形式简化。
步骤 4/5
目标：计算各定积分值
计算 $\theta$ 积分：
- 对于 $I_1$：令 $u=\sin\theta$，$\mathrm{d}u=\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$，则 $\int_0^{\pi/2}\sin^7\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_0^1 u^7\,\mathrm{d}u = \frac18$。
- 对于 $I_2$：令 $u=\sin\theta$，$\cos^2\theta=1-u^2$，则 $\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_0^1 u^5(1-u^2)\,\mathrm{d}u = \frac16-\frac18 = \frac1{24}$。
计算 $\phi$ 积分：
- 对于 $I_1$：令 $t=\sin\phi$，$\mathrm{d}t=\cos\phi\,\mathrm{d}\phi$，则 $\int_0^{\pi/2}\sin^3\phi\cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi = \int_0^1 t^3(1-t^2)\,\mathrm{d}t = \frac14-\frac16 = \frac1{12}$。
- 对于 $I_2$：$\int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,\mathrm{d}\phi = \frac12\int_0^{\pi/2}\sin2\phi\,\mathrm{d}\phi = \frac12$。
公式：\int_0^{\pi/2}\sin^7\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac18,\ \int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac1{24},\ \int_0^{\pi/2}\sin^3\phi\cos^3\phi\,\mathrm{d}\phi = \frac1{12},\ \int_0^{\pi/2}\sin\phi\cos\phi\,\mathrm{d}\phi = \frac12
提示：换元时注意积分限的变化，$\sin\theta$ 从0到1，$\sin\phi$ 也从0到1。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终答案
计算 $I_1 = a^9 \cdot \frac18 \cdot \frac1{12} = \frac{a^9}{96}$，$I_2 = a^9 \cdot \frac1{24} \cdot \frac12 = \frac{a^9}{48}$。
因此
$$I = I_1 + I_2 = a^9\left(\frac1{96}+\frac1{48}\right) = a^9\left(\frac1{96}+\frac2{96}\right) = \frac{3a^9}{96} = \frac{a^9}{32}.$$
公式：\iint_S xyz(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\,\mathrm{d}S = \frac{a^9}{32}
提示：最终结果化简时注意通分，$\frac1{48}=\frac2{96}$。
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