湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．已知函数 $f(x)$ 在原点的邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=($
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析极限条件，确定展开思路
已知极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{f(x)}{x^2} \right) = 0$，且 $f(x)$ 在原点邻域内二阶可导，因此考虑将 $\sin 3x$ 和 $f(x)$ 分别进行泰勒展开，代入极限表达式后合并同类项，令各阶发散项系数为零，从而求出 $f''(0)$。
提示：注意极限为0意味着所有发散项（如 $1/x^2$、$1/x$）的系数必须为零，常数项也必须为零。
步骤 2/7
目标：展开 $\sin 3x$ 至 $x^3$ 项
由 $\sin t = t - \frac{t^3}{6} + O(t^5)$，令 $t = 3x$，得 $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5) = 3x - \frac{27}{6}x^3 + O(x^5) = 3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5)$。
公式：\sin 3x = 3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5)
提示：注意 $\frac{27}{6}$ 化简为 $\frac{9}{2}$，展开到 $x^3$ 项即可，因为分母有 $x^3$。
步骤 3/7
目标：计算 $\frac{\sin 3x}{x^3}$ 的展开式
将 $\sin 3x$ 的展开式除以 $x^3$：$\frac{\sin 3x}{x^3} = \frac{3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5)}{x^3} = \frac{3}{x^2} - \frac{9}{2} + O(x^2)$。
公式：\frac{\sin 3x}{x^3} = \frac{3}{x^2} - \frac{9}{2} + O(x^2)
提示：注意 $O(x^5)/x^3 = O(x^2)$，不影响常数项。
步骤 4/7
目标：展开 $f(x)$ 至二阶
由于 $f$ 在 $0$ 处二阶可导，有 $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。除以 $x^2$ 得：$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{f(0)}{x^2} + \frac{f'(0)}{x} + \frac{f''(0)}{2} + o(1)$。
公式：\frac{f(x)}{x^2} = \frac{f(0)}{x^2} + \frac{f'(0)}{x} + \frac{f''(0)}{2} + o(1)
提示：$o(1)$ 表示趋于0的无穷小量，不影响极限的常数项。
步骤 5/7
目标：合并两项，整理各次幂系数
将两个展开式相加：$\frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{f(x)}{x^2} = \left( \frac{3}{x^2} - \frac{9}{2} + O(x^2) \right) + \left( \frac{f(0)}{x^2} + \frac{f'(0)}{x} + \frac{f''(0)}{2} + o(1) \right) = \frac{3+f(0)}{x^2} + \frac{f'(0)}{x} + \left( -\frac{9}{2} + \frac{f''(0)}{2} \right) + \text{高阶无穷小}$。
公式：\frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{f(x)}{x^2} = \frac{3+f(0)}{x^2} + \frac{f'(0)}{x} + \left( -\frac{9}{2} + \frac{f''(0)}{2} \right) + o(1)
提示：注意 $O(x^2)$ 和 $o(1)$ 均为高阶无穷小，合并后不影响极限值。
步骤 6/7
目标：令发散项系数为零，确定 $f(0)$ 和 $f'(0)$
为使极限为0，$\frac{1}{x^2}$ 项和 $\frac{1}{x}$ 项的系数必须为0：$3+f(0)=0 \Rightarrow f(0)=-3$；$f'(0)=0$。
公式：f(0) = -3, \quad f'(0) = 0
提示：若 $f'(0) \neq 0$，则 $\frac{1}{x}$ 项发散，极限不存在。
步骤 7/7
目标：令常数项为零，求出 $f''(0)$
常数项也必须为0：$-\frac{9}{2} + \frac{f''(0)}{2} = 0$，两边乘以2得 $-9 + f''(0) = 0$，所以 $f''(0) = 9$。
公式：f''(0) = 9
提示：注意常数项为零是极限为零的必要条件，不能遗漏。
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