湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
10．曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=(\quad)$ ，其中 $L$ 为曲线 $x^{2}-2 x+y^{2}=3$ ，方向取正向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简曲线方程，确定曲线形状和方向
将曲线方程 $x^2 - 2x + y^2 = 3$ 配方：$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4$，即 $(x-1)^2 + y^2 = 4$。因此 $L$ 是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆，方向取正向（逆时针）。
公式：$(x-1)^2 + y^2 = 4$
提示：注意配方法：$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$，移项后得到标准圆方程。
步骤 2/5
目标：分析被积表达式与奇点位置
被积函数为 $\dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$，分母在原点 $(0,0)$ 处为零，故原点是被积函数的奇点。判断原点是否在圆内：圆心 $(1,0)$ 到原点的距离为 $1$，小于半径 $2$，所以原点在圆内部。
公式：距离 $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1 < 2$
提示：奇点是否被包围是决定积分值的关键，需仔细计算距离。
步骤 3/5
目标：计算旋度，判断向量场的保守性
令 $P = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$，$Q = \dfrac{x}{x^2+y^2}$。计算偏导数：
$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$，
$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{-x^2 - y^2 + 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$。
故在除去原点的区域，$\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0$，向量场保守（旋度为零）。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$（$(x,y)\neq(0,0)$）
提示：注意分母不为零时才能求偏导，原点处需单独处理。
步骤 4/5
目标：应用格林公式的推论，确定积分值
由于在除去原点的区域内旋度为零，对于任何不包含原点的闭曲线，积分为 $0$；对于任何包含原点的正向闭曲线，积分值相等，等于绕原点一周的积分值。取以原点为中心、半径为 $\varepsilon$ 的小圆周 $C_\varepsilon$（正向），计算得 $\int_{C_\varepsilon} \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 2\pi$。因此本题中圆 $L$ 包含原点，故积分值为 $2\pi$。
公式：$\int_{L} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 2\pi$
提示：绕原点一周的积分是经典结论，可直接使用；注意方向为正向（逆时针）时取正。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上分析，曲线积分的结果为 $2\pi$。
公式：$\boxed{2\pi}$
提示：答案应写为 $2\pi$，注意不要遗漏常数 $\pi$。
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