湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $a_{i} \geq 0(i=1, \cdots, p)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=(\quad)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 \(a_1, a_2, \dots, a_p \ge 0\)，要求极限 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( a_1^n + a_2^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}}\)。记 \(M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_p\}\)，由于所有项非负，最大值存在。
公式：M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_p\}
提示：注意最大值可能由多个数同时取到，但只需取其中一个即可。
步骤 2/5
目标：建立上界估计
由于每一项 \(a_i^n \le M^n\)，所以 \(a_1^n + a_2^n + \cdots + a_p^n \le p \cdot M^n\)。两边开 \(n\) 次方得 \(\left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} \le (p M^n)^{\frac{1}{n}} = p^{\frac{1}{n}} M\)。当 \(n \to \infty\) 时，\(p^{\frac{1}{n}} \to 1\)，因此上界趋于 \(M\)。
公式：\left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} \le p^{\frac{1}{n}} M
提示：放缩时注意 \(p\) 是常数，\(p^{1/n}\) 的极限为1。
步骤 3/5
目标：建立下界估计
设 \(a_k = M\)，则 \(a_1^n + a_2^n + \cdots + a_p^n \ge a_k^n = M^n\)。两边开 \(n\) 次方得 \(\left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} \ge (M^n)^{\frac{1}{n}} = M\)。
公式：\left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} \ge M
提示：下界直接由最大值项得到，注意非负性保证不等式成立。
步骤 4/5
目标：应用夹逼定理求极限
由上下界估计得 \(M \le \left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} \le p^{\frac{1}{n}} M\)。当 \(n \to \infty\) 时，左边为常数 \(M\)，右边 \(p^{\frac{1}{n}} M \to M\)，由夹逼定理知极限为 \(M\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left( a_1^n + \cdots + a_p^n \right)^{\frac{1}{n}} = M
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里左边是常数，右边趋于同一常数。
步骤 5/5
目标：讨论特殊情况
若所有 \(a_i = 0\)，则 \(M=0\)，极限显然为0，结论成立。若某些 \(a_i=0\)，不影响最大值，结果仍为最大值。因此极限恒为 \(\max\{a_1, a_2, \dots, a_p\}\)。
公式：\boxed{\max\{a_1, a_2, \dots, a_p\}}
提示：注意零值不影响最大值，但需确认非负条件。
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