湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_{0}^{x} y f(x-y) d y$ ，则 $g^{\prime \prime}(x)=(\quad)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：变量替换，将积分化为标准形式
令 $t = x - y$，则 $y = x - t$，$dy = -dt$。当 $y=0$ 时 $t=x$，当 $y=x$ 时 $t=0$。代入得：
$$g(x) = \int_{0}^{x} y f(x-y) \, dy = \int_{x}^{0} (x-t) f(t) \, (-dt) = \int_{0}^{x} (x-t) f(t) \, dt.$$
公式：$g(x) = \int_0^x (x-t) f(t) \, dt$
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 2/3
目标：应用莱布尼茨公式求一阶导数
对 $g(x) = \int_0^x (x-t) f(t) \, dt$ 求导，使用含参积分求导法则：
$$g'(x) = (x-x)f(x) \cdot 1 + \int_0^x \frac{\partial}{\partial x}[(x-t)f(t)] \, dt = 0 + \int_0^x f(t) \, dt.$$
公式：$g'(x) = \int_0^x f(t) \, dt$
提示：注意被积函数中 $x$ 出现在上限和内部，莱布尼茨公式有两部分，但上限代入项为零。
步骤 3/3
目标：利用微积分基本定理求二阶导数
由 $g'(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，根据微积分基本定理，对上限求导得：
$$g''(x) = f(x).$$
公式：$g''(x) = f(x)$
提示：微积分基本定理要求被积函数连续，题目已保证 $f$ 连续。
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