湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ 的和函数为（ ），收敛区间为（ ）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写幂级数形式，便于观察规律
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^{n}} x^{2n-2}$。令 $m = n-1$，则 $n = m+1$，$m$ 从 $0$ 到 $\infty$。代入得：
$$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2(m+1)-1}{2^{m+1}} x^{2m} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{2m+1}{2^{m+1}} x^{2m} = \frac12 \sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) \left(\frac{x^2}{2}\right)^m$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^{n}} x^{2n-2} = \frac12 \sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) \left(\frac{x^2}{2}\right)^m$
提示：注意 $x^{2n-2}$ 可写成 $(x^2)^{n-1}$，从而转化为关于 $x^2$ 的幂级数。
步骤 2/4
目标：利用已知级数求和公式推导核心和式
已知当 $|t|<1$ 时，$\sum_{m=0}^{\infty} t^m = \frac{1}{1-t}$。两边对 $t$ 求导得 $\sum_{m=1}^{\infty} m t^{m-1} = \frac{1}{(1-t)^2}$，即 $\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) t^m = \frac{1}{(1-t)^2}$。
我们需要 $\sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) t^m = 2\sum_{m=0}^{\infty} m t^m + \sum_{m=0}^{\infty} t^m$。
其中 $\sum_{m=0}^{\infty} m t^m = t \sum_{m=1}^{\infty} m t^{m-1} = \frac{t}{(1-t)^2}$，$\sum_{m=0}^{\infty} t^m = \frac{1}{1-t}$。
因此：
$$\sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) t^m = 2\cdot\frac{t}{(1-t)^2} + \frac{1}{1-t} = \frac{2t + (1-t)}{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^2}$$
公式：$\sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) t^m = \frac{1+t}{(1-t)^2}$，其中 $|t|<1$
提示：注意 $\sum m t^m$ 的求和可通过求导得到，避免直接记忆复杂公式。
步骤 3/4
目标：代回变量并化简得到和函数
令 $t = \frac{x^2}{2}$，代入上一步结果：
$$\sum_{m=0}^{\infty} (2m+1) \left(\frac{x^2}{2}\right)^m = \frac{1 + \frac{x^2}{2}}{\left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2}$$
再乘以前面的系数 $\frac12$：
$$S(x) = \frac12 \cdot \frac{1 + \frac{x^2}{2}}{\left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2} = \frac12 \cdot \frac{\frac{2+x^2}{2}}{\left(\frac{2-x^2}{2}\right)^2} = \frac12 \cdot \frac{2+x^2}{2} \cdot \frac{4}{(2-x^2)^2} = \frac{2+x^2}{(2-x^2)^2}$$
公式：$S(x) = \frac{2+x^2}{(2-x^2)^2}$
提示：化简时注意分数运算，避免漏乘系数。
步骤 4/4
目标：确定收敛区间
原级数通项为 $\frac{2n-1}{2^n} x^{2n-2}$，使用比值审敛法：
$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2^{n+1}} \Big/ \frac{2n-1}{2^n} \cdot |x|^2 = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2(2n-1)} |x|^2 = \frac{|x|^2}{2}$$
收敛要求 $\frac{|x|^2}{2} < 1$，即 $|x| < \sqrt{2}$。
当 $|x| = \sqrt{2}$ 时，通项为 $\frac{2n-1}{2^n} (\sqrt{2})^{2n-2} = \frac{2n-1}{2^n} \cdot 2^{n-1} = \frac{2n-1}{2}$，不趋于 $0$，级数发散。
因此收敛区间为 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{|x|^2}{2}$，收敛区间 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$
提示：端点处需单独检验，因为比值审敛法在等于1时失效。
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