湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．已知函数 $F(x, y)$ 可微，则曲面 $F(x-a z, y-b z)=0$ 的切平面与定方向 $\vec{v}=(\quad)$ 平行．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面方程与法向量的关系
曲面由隐式方程 $F(x - a z, y - b z) = 0$ 给出。记 $u = x - a z$, $v = y - b z$，则曲面为 $F(u, v) = 0$。对于隐式曲面 $G(x,y,z)=0$，其法向量为梯度 $\nabla G$。这里令 $G(x,y,z) = F(x - a z, y - b z)$。
公式：$G(x,y,z) = F(x - a z, y - b z)$
提示：注意隐式曲面的法向量是梯度，不要与切平面方向混淆。
步骤 2/5
目标：计算梯度分量
利用链式法则求偏导：
$\frac{\partial G}{\partial x} = F_u \cdot 1 + F_v \cdot 0 = F_u$
$\frac{\partial G}{\partial y} = F_u \cdot 0 + F_v \cdot 1 = F_v$
$\frac{\partial G}{\partial z} = F_u \cdot (-a) + F_v \cdot (-b) = -a F_u - b F_v$
其中 $F_u = \frac{\partial F}{\partial u}$, $F_v = \frac{\partial F}{\partial v}$。
公式：$\nabla G = (F_u,\; F_v,\; -a F_u - b F_v)$
提示：注意对 $z$ 求导时，$u$ 和 $v$ 都含有 $z$，不要遗漏负号。
步骤 3/5
目标：建立切平面与固定方向平行的条件
切平面与方向 $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 平行，意味着该方向与法向量垂直，即点积为零：$\vec{v} \cdot \nabla G = 0$。代入法向量得：
$v_1 F_u + v_2 F_v + v_3(-a F_u - b F_v) = 0$。
公式：$v_1 F_u + v_2 F_v - a v_3 F_u - b v_3 F_v = 0$
提示：点积为零是垂直条件，注意符号。
步骤 4/5
目标：整理条件并利用偏导数的任意性
将上式按 $F_u$ 和 $F_v$ 合并：
$(v_1 - a v_3) F_u + (v_2 - b v_3) F_v = 0$。
由于 $F_u$ 和 $F_v$ 在曲面上不同点可以取任意值（$F$ 可微且非退化），要使该式对所有点成立，必须系数为零：
$v_1 - a v_3 = 0$，$v_2 - b v_3 = 0$。
公式：$v_1 = a v_3,\; v_2 = b v_3$
提示：不要忽略 $F_u$ 和 $F_v$ 的任意性，这是确定固定方向的关键。
步骤 5/5
目标：确定固定方向向量
取 $v_3 = 1$（非零即可），得到 $v_1 = a$, $v_2 = b$。因此固定方向为 $(a, b, 1)$。该方向不依赖于曲面上的具体点，故切平面恒与此方向平行。
公式：$\vec{v} = (a,\; b,\; 1)$
提示：方向向量可以缩放，取 $v_3=1$ 是最简形式，注意 $a,b$ 为常数。
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