湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6．设函数 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，$\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=(\quad)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确变量关系与复合结构
设 $u = x$，$v = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u, v)$。其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。
公式：$u = x$，$v = \frac{x}{y}$
提示：注意 $u$ 只依赖于 $x$，$v$ 同时依赖于 $x$ 和 $y$。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
由链式法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
$$
计算得 $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{y}$，所以
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + \frac{1}{y} f_v
$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + \frac{1}{y} f_v$
提示：这里 $f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u$ 和 $v$ 的函数，后续对 $y$ 求导时需注意。
步骤 3/6
目标：求混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 的表达式
对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( f_u + \frac{1}{y} f_v \right)
$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( f_u + \frac{1}{y} f_v \right)$
提示：注意 $f_u$ 和 $f_v$ 通过 $v = x/y$ 依赖于 $y$，而 $u = x$ 与 $y$ 无关。
步骤 4/6
目标：求第一项 $f_u$ 对 $y$ 的偏导数
由链式法则：
$$
\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
$$
其中 $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$，所以
$$
\frac{\partial f_u}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_{uv}
$$
公式：$\frac{\partial f_u}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_{uv}$
提示：注意 $f_{uv}$ 表示先对 $u$ 再对 $v$ 的混合偏导，由于连续性，$f_{uv} = f_{vu}$。
步骤 5/6
目标：求第二项 $\frac{1}{y} f_v$ 对 $y$ 的偏导数（使用乘积法则）
由乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} f_v \right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}
$$
其中
$$
\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0 + f_{vv} \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) = -\frac{x}{y^2} f_{vv}
$$
代入得：
$$
-\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \left( -\frac{x}{y^2} f_{vv} \right) = -\frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}
$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} f_v \right) = -\frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}$
提示：注意 $f_{vv}$ 是二阶偏导，且 $f_{vu} = f_{uv}$ 已在第一项中使用。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
将两项相加：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{x}{y^2} f_{uv} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}
$$
所有偏导数均在点 $(x, x/y)$ 处取值。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{x}{y^{2}} f_{uv} - \frac{1}{y^{2}} f_{v} - \frac{x}{y^{3}} f_{vv}$
提示：最终结果中 $f_{uv}$ 和 $f_{vv}$ 是二阶偏导，$f_v$ 是一阶偏导，注意符号和系数的准确性。
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