湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
7．若广义积分 $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{1-p} \ln x d x$ 收玫，则实数 p 的最大取值范围是（）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分可能的奇点
被积函数为 $x^{p-1}(1-x)^{1-p} \ln x$，积分区间为 $[0,1]$。当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，且 $x^{p-1}$ 可能发散；当 $x \to 1^-$ 时，$(1-x)^{1-p}$ 可能发散。因此需要分别讨论 $x=0$ 和 $x=1$ 两端的收敛性。
公式：被积函数：$f(x)=x^{p-1}(1-x)^{1-p} \ln x$
提示：注意 $\ln x$ 在 $x=0$ 处发散，但增长慢于任何幂次，因此主要影响来自幂函数部分。
步骤 2/4
目标：分析 $x \to 0^+$ 时的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$(1-x)^{1-p} \to 1$，故被积函数近似为 $x^{p-1} \ln x$。考虑积分 $\int_0^\delta x^{p-1} \ln x \, dx$ 的收敛性。对于形如 $x^a \ln x$ 的函数，在 $0$ 附近可积的充要条件是 $a > -1$（因为 $\ln x$ 的增长慢于任何幂次，不影响 $a=-1$ 时的发散性）。此处 $a = p-1$，故需 $p-1 > -1$，即 $p > 0$。若 $p=0$，则 $x^{-1} \ln x$ 在 $0$ 附近发散（$\int_0 x^{-1} dx$ 发散）。
公式：$x^{p-1} \ln x \sim x^{p-1} \ln x$，收敛条件：$p-1 > -1 \Rightarrow p > 0$
提示：易错点：认为 $\ln x$ 能挽救 $p=0$ 的情况，实际上对数发散速度不足以抵消 $x^{-1}$ 的奇性。
步骤 3/4
目标：分析 $x \to 1^-$ 时的收敛性
令 $t = 1 - x$，则 $x = 1 - t$，$\ln x = \ln(1-t)$。当 $t \to 0^+$ 时，$(1-t)^{p-1} \to 1$，$\ln(1-t) \sim -t$。被积函数化为：$(1-t)^{p-1} t^{1-p} \ln(1-t) \sim 1 \cdot t^{1-p} \cdot (-t) = -t^{2-p}$。因此，在 $t=0$ 附近，积分 $\int_0^\delta t^{2-p} \, dt$ 的收敛条件是指数 $2-p > -1$，即 $p < 3$。若 $p=3$，则 $t^{-1}$ 发散。
公式：$t=1-x$，近似为 $-t^{2-p}$，收敛条件：$2-p > -1 \Rightarrow p < 3$
提示：注意 $\ln(1-t) \sim -t$ 的近似，不要遗漏负号，但负号不影响收敛性判断。
步骤 4/4
目标：综合两端条件得出最终范围
由 $x=0$ 处得 $p > 0$，由 $x=1$ 处得 $p < 3$。两者需同时成立，故 $0 < p < 3$。端点 $p=0$ 或 $p=3$ 时积分发散，因此最大取值范围为开区间。
公式：$0 < p < 3$
提示：注意“最大取值范围”通常指使积分收敛的所有 $p$ 的集合，此处为开区间，不可包含端点。
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