湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
8． $\int_{-3}^{2} \min \left(2, x^{2}\right) d x=(\quad)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定被积函数的分段形式
比较 $x^2$ 与常数 $2$ 的大小。解不等式 $x^2 \le 2$ 得 $|x| \le \sqrt{2}$，即 $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ 时 $\min(2, x^2)=x^2$；当 $x < -\sqrt{2}$ 或 $x > \sqrt{2}$ 时 $\min(2, x^2)=2$。
公式：$\min(2, x^2) = \begin{cases} x^2, & -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \\ 2, & \text{其他} \end{cases}$
提示：注意 $\sqrt{2} \approx 1.414$，积分上限为 $2$，因此 $\sqrt{2}$ 在区间内部。
步骤 2/6
目标：根据积分区间分段
积分区间 $[-3, 2]$ 被分界点 $-\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 分成三段：$[-3, -\sqrt{2}]$，$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，$[\sqrt{2}, 2]$。
公式：$\int_{-3}^{2} \min(2, x^2) \, dx = \int_{-3}^{-\sqrt{2}} 2 \, dx + \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} 2 \, dx$
提示：分段时注意端点归属，确保覆盖整个区间且无重叠。
步骤 3/6
目标：计算第一段积分
计算 $\int_{-3}^{-\sqrt{2}} 2 \, dx$。被积函数为常数 $2$，积分结果为 $2$ 乘以区间长度：$2 \times (-\sqrt{2} - (-3)) = 2(3 - \sqrt{2})$。
公式：$\int_{-3}^{-\sqrt{2}} 2 \, dx = 2(3 - \sqrt{2})$
提示：注意区间长度是 $(-\sqrt{2}) - (-3) = 3 - \sqrt{2}$，不要弄错符号。
步骤 4/6
目标：计算第二段积分
计算 $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx$。利用幂函数积分公式：$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$，代入上下限：$\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$。
公式：$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
提示：注意 $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$，相减时负负得正。
步骤 5/6
目标：计算第三段积分
计算 $\int_{\sqrt{2}}^{2} 2 \, dx$。同样为常数积分：$2 \times (2 - \sqrt{2})$。
公式：$\int_{\sqrt{2}}^{2} 2 \, dx = 2(2 - \sqrt{2})$
提示：区间长度为 $2 - \sqrt{2}$，直接相乘即可。
步骤 6/6
目标：求和并化简
将三段结果相加：$2(3 - \sqrt{2}) + \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2(2 - \sqrt{2})$。先合并常数项：$2\times3 + 2\times2 = 6 + 4 = 10$。再合并根号项：$-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = -4\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \left(-4 + \frac{4}{3}\right)\sqrt{2} = -\frac{8\sqrt{2}}{3}$。最终结果为 $10 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$。
公式：$10 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$
提示：合并根号项时注意通分，$-4 = -\frac{12}{3}$，与 $\frac{4}{3}$ 相加得 $-\frac{8}{3}$。
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