湖南师范大学 2023年数学分析第0题

函数 $f(x) = \pi - |x|$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上定义，由于 $|x|$ 是偶函数，因此 $f(x)$ 也是偶函数。偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，即所有正弦系数 $b_n = 0$。

对于周期为 $2\pi$ 的偶函数，傅里叶级数为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$，其中系数公式为 $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$，$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\,dx$。由于函数是偶函数，可将积分区间从 $[-\pi,\pi]$ 简化为 $[0,\pi]$ 并乘以 2。

计算 $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi - x)\,dx$。先求定积分：$\int_0^\pi (\pi - x)\,dx = \left[ \pi x - \frac{x^2}{2} \right]_0^\pi = \pi^2 - \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^2}{2}$。因此 $a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi$。

计算 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx)\,dx$。先计算 $\int_0^\pi \pi \cos(nx)\,dx = \pi \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = 0$。再计算 $\int_0^\pi x \cos(nx)\,dx$，使用分部积分：令 $u=x$，$dv=\cos(nx)dx$，则 $du=dx$，$v=\frac{\sin(nx)}{n}$，得到 $\int x \cos(nx)\,dx = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}$。代入上下限：在 $x=\pi$ 时，$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $\frac{(-1)^n}{n^2}$；在 $x=0$ 时，得 $\frac{1}{n^2}$。因此 $\int_0^\pi x \cos(nx)\,dx = \frac{(-1)^n - 1}{n^2}$。于是 $\int_0^\pi (\pi - x) \cos(nx)\,dx = 0 - \frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \frac{1 - (-1)^n}{n^2}$。所以 $a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n^2}$。

当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，则 $a_n = 0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k-1$，则 $1 - (-1)^n = 2$，所以 $a_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{(2k-1)^2} = \frac{4}{\pi (2k-1)^2}$。常数项为 $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi}{2}$。因此傅里叶级数为 $f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \cos\big((2k-1)x\big)$。