湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \alpha<1$（ $\displaystyle \alpha$ 为常数）．取 $\displaystyle x_{0} \in (-\infty,+\infty)$ ，令 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}$ 是方程 $\displaystyle x=f(x)$ 的根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上可微，且存在常数 $\alpha < 1$，使得对所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $|f'(x)| \leq \alpha$。取任意初始点 $x_0$，定义迭代 $x_n = f(x_{n-1}), n=1,2,\dots$。需要证明数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限 $x^*$ 满足 $x^* = f(x^*)$。
公式：$|f'(x)| \leq \alpha < 1$
提示：注意导数的界是全局的，且严格小于1，这是压缩性的关键。
步骤 2/6
目标：证明相邻项之间的压缩关系
对任意 $n \geq 1$，由微分中值定理，存在 $\xi_n$ 介于 $x_{n-1}$ 与 $x_n$ 之间，使得 $|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| = |f'(\xi_n)| \cdot |x_n - x_{n-1}|$。由于 $|f'(\xi_n)| \leq \alpha < 1$，得到 $|x_{n+1} - x_n| \leq \alpha |x_n - x_{n-1}|$。
公式：$|x_{n+1} - x_n| \leq \alpha |x_n - x_{n-1}|$
提示：中值定理要求函数可微，这里条件满足；注意 $\xi_n$ 依赖于 $n$，但界是统一的。
步骤 3/6
目标：递推得到通项估计
反复应用压缩关系，可得 $|x_{n+1} - x_n| \leq \alpha^n |x_1 - x_0|$。这是因为从 $n=1$ 开始递推：$|x_2 - x_1| \leq \alpha |x_1 - x_0|$，$|x_3 - x_2| \leq \alpha^2 |x_1 - x_0|$，依此类推。
公式：$|x_{n+1} - x_n| \leq \alpha^n |x_1 - x_0|$
提示：注意 $\alpha < 1$，因此 $\alpha^n$ 随 $n$ 增大趋于0。
步骤 4/6
目标：证明数列是柯西列从而收敛
对任意 $m > n$，有 $|x_m - x_n| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1} - x_k| \leq |x_1 - x_0| \sum_{k=n}^{m-1} \alpha^k$。由于 $0 \leq \alpha < 1$，几何级数 $\sum_{k=n}^{\infty} \alpha^k = \frac{\alpha^n}{1-\alpha}$ 收敛，当 $n \to \infty$ 时，右边趋于0。因此 $\{x_n\}$ 是柯西列，由实数完备性，存在极限 $x^* = \lim_{n \to \infty} x_n$。
公式：$|x_m - x_n| \leq |x_1 - x_0| \cdot \frac{\alpha^n}{1-\alpha}$
提示：柯西收敛准则在实数中与数列收敛等价，这里利用了几何级数求和。
步骤 5/6
目标：证明极限是不动点
由迭代定义 $x_{n+1} = f(x_n)$，两边取极限得 $\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n)$。左边等于 $x^*$。由于 $f$ 可微，从而连续，因此 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) = f(x^*)$。于是 $x^* = f(x^*)$，即 $x^*$ 是方程 $x = f(x)$ 的根。
公式：$x^* = f(x^*)$
提示：连续性由可微性保证，这是极限运算与函数运算交换的关键。
步骤 6/6
目标：总结结论
数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限 $x^*$ 满足 $x^* = f(x^*)$，即 $x^*$ 是 $f$ 的不动点。
公式：$\lim_{n \to \infty} x_n = x^*$ 且 $x^* = f(x^*)$
提示：本题是压缩映射原理在实数上的特例，注意导数界严格小于1保证了压缩性。
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