湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．Riemann 函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{q}, \text { 当 } x=\frac{p}{q}(q>0, q \text { 和 } p \text { 为互质整数 } ; x=0 \text { 时 } q=1), \\
0, \text { 当 } x \text { 为无理数时 }
\end{array}\right.
$$
在 $(-\infty,+\infty)$ 中的哪些点连续，哪些点不连续
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确函数定义与符号含义
函数定义为：
$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & \text{当 } x=\frac{p}{q},\ q>0,\ \gcd(p,q)=1,\ \text{且 } x=0\text{时取 }q=1,\\ 0, & \text{当 }x\text{为无理数}. \end{cases}$$
其中，$p,q$为互质整数，$q>0$。有理点处的函数值等于最简分母的倒数，无理点处函数值为0。
公式：f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q},\quad f(\text{无理数})=0
提示：注意$x=0$时视为$\frac{0}{1}$，因此$f(0)=1$。
步骤 2/4
目标：分析无理数点处的连续性
设$x_0$为任意无理数，则$f(x_0)=0$。对任意$\varepsilon>0$，取正整数$N=\lfloor 1/\varepsilon \rfloor$。分母不超过$N$的有理数在任意有限区间内只有有限个，因此存在$\delta>0$，使得区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内不包含任何分母$q\le N$的有理数。于是该区间内所有有理数满足$f(x)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N+1}\le\varepsilon$，无理数点函数值为0，故对所有$x$有$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。因此$f$在$x_0$连续。
公式：\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \text{s.t. }|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-0|<\varepsilon
提示：关键：分母足够大的有理数函数值才足够小，而分母小的有理数只有有限个，可以避开。
步骤 3/4
目标：分析有理数点处的不连续性
设$x_0=\frac{p}{q}$为最简有理数，则$f(x_0)=\frac{1}{q}>0$。由于无理数在实数中稠密，对任意$\delta>0$，区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内必存在无理数$x$，此时$f(x)=0$。于是$|f(x)-f(x_0)|=\frac{1}{q}$。取$\varepsilon=\frac{1}{2q}$，则无论$\delta$多小，总存在$x$使得$|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，故$f$在$x_0$不连续。
公式：\exists\varepsilon=\frac{1}{2q}>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x\in(x_0-\delta,x_0+\delta),\ |f(x)-f(x_0)|=\frac{1}{q}>\varepsilon
提示：注意：有理点本身函数值为正，但附近有无理点函数值为0，导致极限不存在或不等于函数值。
步骤 4/4
目标：总结连续与不连续点集
由以上两步可得：
- 在全体无理数点处，函数连续。
- 在全体有理数点处，函数不连续。
因此，Riemann函数在$(-\infty,+\infty)$上的连续点集为无理数集，不连续点集为有理数集。
公式：\text{连续点集}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\quad \text{不连续点集}=\mathbb{Q}
提示：这是一个经典例子，说明函数可以在稠密集上间断，但在另一稠密集上连续。
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