湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，并且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫。能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若把条件＂一致连续＂改为＂连续且 $f(x) \geq 0$＂，能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第一部分条件：一致连续与积分收敛的关系
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛。要判断是否必有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。采用反证法：假设极限不为0，则存在 $\varepsilon_0>0$ 和点列 $x_n\to+\infty$，使得 $|f(x_n)|\ge \varepsilon_0$。
公式：|f(x_n)| \ge \varepsilon_0 > 0
提示：注意一致连续性的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：利用一致连续性构造矛盾
由一致连续性，取 $\varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2}$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon_0}{2}$。于是在区间 $[x_n-\delta, x_n+\delta]$ 上，对任意 $x$ 有 $|f(x)| \ge |f(x_n)| - |f(x)-f(x_n)| \ge \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。选取子列使这些区间互不重叠（例如要求 $x_{n+1} - x_n > 2\delta$），则每个区间上的积分至少为 $\frac{\varepsilon_0}{2} \cdot 2\delta = \varepsilon_0\delta$，无穷多个区间导致积分发散，与收敛矛盾。
公式：\int_{x_n-\delta}^{x_n+\delta} |f(x)|\,dx \ge \varepsilon_0\delta
提示：关键步骤：利用一致连续性将点上的非零下界推广到邻域上的非零下界。
步骤 3/6
目标：第一部分结论
反证法说明假设不成立，因此必有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。即一致连续条件下，由积分收敛可推出极限为0。
公式：\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0
提示：此结论依赖于一致连续性，不能减弱为普通连续性。
步骤 4/6
目标：分析第二部分条件：连续非负但无一致连续性
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$f(x)\ge 0$，且 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛。要判断是否必有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。尝试构造反例：考虑一系列尖峰脉冲，每个脉冲面积很小但峰值不趋于0。
公式：f(x) \ge 0, \quad \int_0^{+\infty} f(x)\,dx < +\infty
提示：非负条件使得积分收敛性更容易控制，但无法约束峰值行为。
步骤 5/6
目标：构造反例函数
定义函数 $f(x)$ 如下：在区间 $[n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$ 上，$f(x)$ 为等腰三角形，顶点在 $x=n$ 处，高度为1，底边长为 $\frac{2}{n^2}$，面积为 $\frac{1}{n^2}$；其余地方 $f(x)=0$。该函数连续且非负，积分 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 收敛，但 $f(n)=1$ 不趋于0。
公式：f(n) = 1, \quad \int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < +\infty
提示：注意脉冲宽度要足够窄以保证总面积收敛，同时峰值保持为常数。
步骤 6/6
目标：第二部分结论
反例表明，即使函数连续非负且积分收敛，也不能保证 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。因此条件改为连续且非负时，结论不成立。
公式：\lim_{x\to+\infty} f(x) \neq 0 \quad \text{（可能不存在或不为0）}
提示：此反例说明一致连续性在控制无穷远处行为时不可或缺。
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