湖南师范大学 2023年数学分析第0题

题目说：若对任意$x \in [a,b]$，极限$\lim_{t \to x} f(t)$存在，则$f(x)$在$[a,b]$上连续。我们需要判断这个结论是否正确。考虑极限存在的含义：它只要求当$t$趋近于$x$时$f(t)$趋于某个值，但并不要求这个值等于$f(x)$。因此，函数可能在孤立点处取不同的值，从而不连续。例如，取$[a,b]=[0,1]$，定义$f(x)=\begin{cases} 0, & x \in (0,1] \\ 1, & x=0 \end{cases}$。对任意$x \in [0,1]$，$\lim_{t \to x} f(t)=0$存在，但$f(0)=1 \neq 0$，故在$x=0$处不连续。所以结论不正确。

反例：$f(x)=\begin{cases} 0, & x \in (0,1] \\ 1, & x=0 \end{cases}$，定义域$[0,1]$。验证：对任意$x \in (0,1]$，当$t \to x$时，$f(t)=0$（因为$t$可以取不等于0的点），故极限为0；对$x=0$，当$t \to 0$且$t \neq 0$时，$f(t)=0$，故极限也为0。但$f(0)=1$，所以$f$在$x=0$处不连续。因此原命题错误。

题目说：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续。这是数学分析中的经典结论——康托尔定理，结论正确。证明思路（简述）：反证法。假设不一致连续，则存在$\varepsilon_0>0$，对任意$\delta>0$，存在$x,y \in [a,b]$满足$|x-y|<\delta$但$|f(x)-f(y)|\ge \varepsilon_0$。取$\delta=1/n$，得到两个点列$x_n,y_n$。由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列，设$x_{n_k}\to c$，则$y_{n_k}\to c$。由连续性，$|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\to 0$，与$\ge \varepsilon_0$矛盾。故一致连续成立。

题目说：若$f(x)$在$[a,b]$上可导，且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续。结论正确。证明：因为$f'(x)$有界，存在$M>0$使得$|f'(x)|\le M$对一切$x \in [a,b]$成立。对任意$x,y \in [a,b]$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x,y$之间，使得$|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)||x-y| \le M|x-y|$。因此$f$满足Lipschitz条件。对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon/M$，则当$|x-y|<\delta$时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，即$f$一致连续。