湖南师范大学 2023年数学分析第0题

曲面方程为 $z^2 = \frac{h^2}{a^2}(x^2+y^2)$，$0 \le z \le h$，这是一个顶点在原点、开口向上的圆锥面，高度为 $h$，在 $z=h$ 处截面半径为 $a$。方向取外侧，即指向锥体外部。由于曲面不封闭，无法直接使用高斯公式，考虑补上顶面 $S_2: z = h$（圆盘 $x^2+y^2 \le a^2$，方向向上）构成封闭曲面，然后利用高斯公式计算封闭曲面积分，再减去顶面部分的积分。

设 $S_1$ 为锥面外侧，$S_2$ 为顶面向上，则封闭曲面 $S = S_1 \cup S_2$ 的外侧积分记为 $I_{\text{封闭}}$。由高斯公式： $I_{\text{封闭}} = \iiint_V (\frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2)) dV = \iiint_V (2x + 2y + 2z) dV$， 其中 $V$ 为锥体：$0 \le z \le h$，$x^2+y^2 \le \frac{a^2}{h^2}z^2$。

由于区域 $V$ 关于 $x$ 和 $y$ 对称，且被积函数中 $x$ 和 $y$ 是奇函数，因此 $\iiint_V x dV = 0$，$\iiint_V y dV = 0$。于是 $I_{\text{封闭}} = \iiint_V 2z dV$。

采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，锥面方程化为 $z = \frac{h}{a}r$，区域为 $0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le z \le h$，$0 \le r \le \frac{a}{h}z$。体积元 $dV = r dr d\theta dz$。 $\iiint_V z dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^h z \left( \int_0^{\frac{a}{h}z} r dr \right) dz$。 先对 $r$ 积分：$\int_0^{\frac{a}{h}z} r dr = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}z\right)^2 = \frac{a^2}{2h^2}z^2$。 再对 $z$：$\int_0^h z \cdot \frac{a^2}{2h^2}z^2 dz = \frac{a^2}{2h^2} \int_0^h z^3 dz = \frac{a^2}{2h^2} \cdot \frac{h^4}{4} = \frac{a^2 h^2}{8}$。 乘以 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，得 $\iiint_V z dV = 2\pi \cdot \frac{a^2 h^2}{8} = \frac{\pi a^2 h^2}{4}$。 因此 $I_{\text{封闭}} = 2 \cdot \frac{\pi a^2 h^2}{4} = \frac{\pi a^2 h^2}{2}$。

顶面 $z = h$，方向向上（法向量朝 $z$ 轴正向）。对于水平面，$dy dz = 0$，$dz dx = 0$，只有 $dx dy$ 项非零，且 $z^2 dx dy = h^2 dx dy$。因此： $\iint_{S_2} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \iint_{x^2+y^2 \le a^2} h^2 dx dy = h^2 \cdot \pi a^2 = \pi a^2 h^2$。

由 $I_{\text{封闭}} = I_{\text{锥面外侧}} + I_{\text{顶面向上}}$，代入已知结果： $\frac{\pi a^2 h^2}{2} = I_{\text{锥面外侧}} + \pi a^2 h^2$， 解得 $I_{\text{锥面外侧}} = \frac{\pi a^2 h^2}{2} - \pi a^2 h^2 = -\frac{\pi a^2 h^2}{2}$。

题目所求锥面外侧的第二类曲面积分为 $\displaystyle \iint_S x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = -\frac{\pi a^2 h^2}{2}$。