湖南师范大学 2023年数学分析第0题

对于任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $\left|\frac{\cos(nx)}{n^2+1}\right| \le \frac{1}{n^2+1}$。而常数项级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2+1}$ 收敛（与 $\sum 1/n^2$ 比较），由 Weierstrass 判别法，函数项级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2+1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。由于每一项 $\frac{\cos(nx)}{n^2+1}$ 连续，一致收敛的级数和函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，从而在 $(0,2\pi)$ 上连续。

对 $f(x)$ 逐项求导得形式导数级数：$f'(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{-n \sin(nx)}{n^2+1}$，其中 $n=0$ 项为 0，故实际从 $n=1$ 开始：$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{-n \sin(nx)}{n^2+1}$。由于 $\left|\frac{-n \sin(nx)}{n^2+1}\right| \le \frac{n}{n^2+1} \le \frac{1}{n}$，而 $\sum 1/n$ 发散，因此无法在整个 $\mathbb{R}$ 上用 Weierstrass 判别法，需考虑在 $(0,2\pi)$ 的任意闭子区间上的一致收敛性。

取任意闭区间 $[a,b] \subset (0,2\pi)$。考虑部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N \sin(nx)$，由三角恒等式：$S_N(x) = \frac{\sin(Nx/2) \sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}$。由于 $x \in [a,b] \subset (0,2\pi)$，$\sin(x/2)$ 有正下界，故 $|S_N(x)|$ 在 $[a,b]$ 上一致有界。系数 $a_n = \frac{-n}{n^2+1}$ 单调递减趋于 0（绝对值递减）。由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin(nx)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。因此导数级数在任意 $(0,2\pi)$ 内的闭子区间上一致收敛。

已知：(1) 原级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 上收敛到 $f(x)$；(2) 逐项求导后的级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{-n \sin(nx)}{n^2+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 的任意闭子区间上一致收敛；(3) 每一项 $\frac{-n \sin(nx)}{n^2+1}$ 连续。由函数项级数的分析性质定理（可导性定理）：若级数收敛，且逐项求导后的级数一致收敛，则和函数可导，且导数等于逐项求导的和。又因为导数级数一致收敛且每项连续，其和函数（即 $f'(x)$）连续。因此 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上有连续的导数。

综上所述，函数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2\pi)$ 上连续，且有连续的导数。