湖南师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四、（10 分）证明函数
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\
0, & x^{2}+y^{2}=0
\end{array}\right.
$$
在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域中连续，$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 和 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 有界，但在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明函数在原点连续
我们需要验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。对于 $(x,y)\neq(0,0)$，有 $|f(x,y)| = \left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|$。利用不等式 $|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}$，可得 $\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 $0$，因此极限为 $0$，函数在原点连续。
公式：$$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$$
提示：注意使用基本不等式 $|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}$ 来放缩，这是处理此类问题的常用技巧。
步骤 2/5
目标：计算偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 在非原点处的表达式
当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，对 $f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 求偏导。使用商法则或直接求导：
$f_x(x,y) = \frac{y \cdot \sqrt{x^2+y^2} - xy \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y(x^2+y^2) - x^2 y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。
类似地，$f_y(x,y) = \frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。
公式：$$f_x(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}},\quad f_y(x,y)=\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$
提示：求导时注意分母的幂次变化，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：计算原点处的偏导数
利用偏导数的定义：
$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h}=0$。
同理，$f_y(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$$
提示：原点处的偏导数必须用定义计算，不能直接代入表达式，因为表达式在原点无定义。
步骤 4/5
目标：证明偏导数有界
对于任意 $(x,y)\neq(0,0)$，有 $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$，因此 $|f_x(x,y)| = \frac{|y|^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} \le \frac{(\sqrt{x^2+y^2})^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 1$。同理 $|f_y(x,y)| \le 1$。结合原点处偏导数为 $0$，可知在整个平面上 $|f_x| \le 1$，$|f_y| \le 1$，即有界。
公式：$$|f_x(x,y)| \le 1,\quad |f_y(x,y)| \le 1$$
提示：有界性的证明依赖于 $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$ 这一简单不等式，注意不要遗漏原点处的验证。
步骤 5/5
目标：证明函数在原点不可微
若函数在 $(0,0)$ 可微，则需满足：
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。
代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得：
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk/(\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2+k^2}$。
取路径 $h=k=t$，则极限值为 $\frac{t^2}{t^2+t^2}=\frac{1}{2} \neq 0$，因此极限不存在（或不为0），故函数在原点不可微。
公式：$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2+k^2} \text{ 不存在}$$
提示：不可微的证明关键是找到一条路径使得极限不为0，常用路径 $h=k$ 或 $h=0$ 等。注意这里极限是 $\frac{hk}{h^2+k^2}$，与方向有关。
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