湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \left(\frac{n+1}{2 n} \pi\right)+\sin \left(\frac{n+2}{2 n} \pi\right)+\cdots+\sin \pi\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将求和表达式转化为标准形式
原式为 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin\left( \frac{n+1}{2n}\pi \right) + \sin\left( \frac{n+2}{2n}\pi \right) + \cdots + \sin\pi \right)$。观察项数：当 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 时，第 $k$ 项为 $\sin\left( \frac{n+k}{2n}\pi \right)$，最后一项 $k=n$ 对应 $\sin\pi$，故共有 $n$ 项。因此原式可写为 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{n+k}{2n}\pi \right)$。
公式：\sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{n+k}{2n}\pi \right)
提示：注意项数判断：从 $\frac{n+1}{2n}\pi$ 到 $\pi$ 恰好 $n$ 项，不要漏项或重复。
步骤 2/5
目标：利用三角恒等式化简通项
化简角度：$\frac{n+k}{2n}\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2n}$。利用恒等式 $\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x$，得 $\sin\left( \frac{n+k}{2n}\pi \right) = \cos\left( \frac{k\pi}{2n} \right)$。于是极限化为 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos\left( \frac{k\pi}{2n} \right)$。
公式：\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
提示：注意 $\sin(\pi/2 + x) = \cos x$ 是常用恒等式，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：识别黎曼和形式
将 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos\left( \frac{k\pi}{2n} \right)$ 视为函数 $f(x)=\cos\left( \frac{\pi}{2} x \right)$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，其中分点 $x_k = \frac{k}{n}$，每个小区间宽度 $\Delta x = \frac{1}{n}$。当 $n\to\infty$ 时，该和收敛于定积分 $\int_0^1 \cos\left( \frac{\pi}{2} x \right) dx$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx
提示：确认 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，黎曼和成立；注意 $\cos$ 的自变量是 $\frac{\pi}{2}x$，不要遗漏系数。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 \cos\left( \frac{\pi}{2} x \right) dx$。令 $u = \frac{\pi}{2}x$，则 $du = \frac{\pi}{2} dx$，积分限 $x:0\to1$ 对应 $u:0\to\frac{\pi}{2}$，原积分 $= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos u\, du = \frac{2}{\pi} \left[ \sin u \right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{\pi} (1-0) = \frac{2}{\pi}$。
公式：\int_0^1 \cos\left( \frac{\pi}{2} x \right) dx = \frac{2}{\pi}
提示：积分计算时注意换元后的系数 $\frac{2}{\pi}$，避免漏乘。
步骤 5/5
目标：得出极限结果
由以上步骤，原极限等于积分值，即 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{n+k}{2n}\pi \right) = \frac{2}{\pi}$。
公式：\boxed{\dfrac{2}{\pi}}
提示：最后结果应化简为最简形式，$\frac{2}{\pi}$ 即为答案。
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