湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
10．曲面积分 $\iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化被积函数
曲面 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2, z\ge 0$，关于 $x$ 和 $y$ 具有对称性。被积函数中的 $x$ 和 $y$ 在 $S$ 上分别是奇函数，因此 \[\iint_S x\,dS = 0,\quad \iint_S y\,dS = 0.\] 原积分化为 \[\iint_S (x+y+z)\,dS = \iint_S z\,dS.\]
公式：\iint_S x\,dS = \iint_S y\,dS = 0
提示：注意对称性成立的条件：曲面关于坐标轴对称，且被积函数为奇函数。
步骤 2/4
目标：将曲面积分投影到 $xOy$ 平面
将曲面表示为 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，投影区域 $D: x^2+y^2 \le a^2$。面积元公式为 \[dS = \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.\] 计算偏导数：\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}.\] 代入得 \[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2} = \frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}.\] 所以 \[dS = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]
公式：dS = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dx\,dy
提示：计算偏导时注意符号，最终 $dS$ 表达式中的分母与 $z$ 相同。
步骤 3/4
目标：代入被积函数并化简积分
被积函数 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$，代入得 \[\iint_S z\,dS = \iint_D \sqrt{a^2-x^2-y^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dx\,dy = \iint_D a\,dx\,dy.\] 其中 $D$ 是半径为 $a$ 的圆盘，面积为 $\pi a^2$。
公式：\iint_S z\,dS = \iint_D a\,dx\,dy
提示：注意 $\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与分母约简，避免遗漏因子。
步骤 4/4
目标：计算二重积分得到结果
\[\iint_D a\,dx\,dy = a \cdot \text{面积}(D) = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3.\] 因此原曲面积分 \[\iint_S (x+y+z)\,dS = \pi a^3.\]
公式：\iint_D a\,dx\,dy = \pi a^3
提示：圆盘面积公式为 $\pi r^2$，此处半径 $r=a$。
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