湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin t \mathrm{~d} t}{\sin x-\tan x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断极限类型
当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_0^x t \sin t \, dt \to 0$，分母 $\sin x - \tan x \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
提示：注意验证分子分母是否同时趋于0，这是使用洛必达法则或泰勒展开的前提。
步骤 2/4
目标：计算分子的泰勒展开
先计算积分：$\int_0^x t \sin t \, dt = [-t \cos t + \sin t]_0^x = -x \cos x + \sin x$。
将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $x=0$ 处展开：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$，
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。
于是 $-x \cos x = -x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)$，
加上 $\sin x$ 得：
$(-x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24}) + (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}) + O(x^7) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + O(x^7)$。
所以分子主项为 $\frac{x^3}{3}$。
公式：\int_0^x t \sin t \, dt = \frac{x^3}{3} + O(x^5)
提示：注意分部积分后要正确展开到足够阶数，分子最低阶为 $x^3$。
步骤 3/4
目标：计算分母的泰勒展开
将 $\sin x$ 和 $\tan x$ 在 $x=0$ 处展开：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。
相减得：
$\sin x - \tan x = (x - \frac{x^3}{6}) - (x + \frac{x^3}{3}) + O(x^5) = -\frac{x^3}{2} + O(x^5)$。
所以分母主项为 $-\frac{x^3}{2}$。
公式：\sin x - \tan x = -\frac{x^3}{2} + O(x^5)
提示：注意 $\tan x$ 展开时 $x^3$ 项系数为正，与 $\sin x$ 相减后 $x$ 项抵消，$x^3$ 项保留。
步骤 4/4
目标：求极限
利用泰勒展开的主项相除：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x t \sin t \, dt}{\sin x - \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{-\frac{x^3}{2} + O(x^5)} = \frac{1/3}{-1/2} = -\frac{2}{3}.
\]
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{-\frac{x^3}{2}} = -\frac{2}{3}
提示：当分子分母最低阶相同时，极限等于系数之比，注意分母的负号。
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