湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数分解为部分分式
分母因式分解：$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$，设 $\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$。通分得 $1 = A(x-2) + B(x-1)$。令 $x=1$ 得 $1 = -A$，即 $A=-1$；令 $x=2$ 得 $1 = B$，即 $B=1$。因此 $f(x) = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$。
公式：$f(x) = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$
提示：注意部分分式分解时，分母因式分解要准确，代入特殊值求解系数。
步骤 2/4
目标：将分式转化为适合展开为幂级数的形式
将 $\frac{1}{x-2}$ 改写为 $-\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}$；将 $\frac{1}{x-1}$ 改写为 $-\frac{1}{1-x}$。于是 $f(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} + \frac{1}{1-x}$。
公式：$f(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} + \frac{1}{1-x}$
提示：注意符号处理，$\frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1-x}$，不要弄错。
步骤 3/4
目标：利用几何级数展开为幂级数
由 $\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^\infty t^n$（$|t|<1$），得 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$，$\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}$。代入得 $f(x) = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n} + \sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n$。
公式：$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n$
提示：注意几何级数展开的条件是 $|t|<1$，这里在 $x=0$ 附近成立。
步骤 4/4
目标：对比泰勒展开系数求出n阶导数
函数在 $x=0$ 处的泰勒展开为 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。对比系数得 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}$，因此 $f^{(n)}(0) = n! \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)$。
公式：$f^{(n)}(0) = n! \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)$
提示：注意泰勒展开中 $x^n$ 的系数是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，不要漏掉阶乘。
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