湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．不定积分 $\int|x| \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析绝对值函数的分段形式
绝对值函数 $|x|$ 在 $x \ge 0$ 时等于 $x$，在 $x < 0$ 时等于 $-x$，因此需要分区间处理不定积分。
公式：|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
提示：注意分段点 $x=0$ 处函数连续，但导数有跳跃，积分时要保证原函数连续。
步骤 2/4
目标：分别对两个区间进行积分
当 $x \ge 0$ 时，$\int |x| \, dx = \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$。当 $x < 0$ 时，$\int |x| \, dx = \int (-x) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 + C_2$。
公式：\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C, \quad \int (-x) \, dx = -\frac{x^2}{2} + C
提示：两个积分常数 $C_1$ 和 $C_2$ 不一定相等，需要后续统一。
步骤 3/4
目标：统一常数使原函数连续
原函数在 $x=0$ 处应连续，因此 $\frac{1}{2}\cdot 0^2 + C_1 = -\frac{1}{2}\cdot 0^2 + C_2$，得 $C_1 = C_2 = C$。于是分段结果可合并为 $\frac{1}{2}x|x| + C$。
公式：\frac{1}{2}x^2 + C \quad (x \ge 0), \quad -\frac{1}{2}x^2 + C \quad (x < 0) \Rightarrow \frac{1}{2}x|x| + C
提示：验证：当 $x \ge 0$ 时 $x|x| = x^2$，当 $x < 0$ 时 $x|x| = -x^2$，与分段结果一致。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
因此不定积分为 $\int |x| \, dx = \frac{1}{2}x|x| + C$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：\int |x| \, dx = \frac{1}{2}x|x| + C
提示：答案也可写成 $\frac{x^2}{2} \operatorname{sgn}(x) + C$，但 $\frac{1}{2}x|x|$ 更简洁。
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