湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^{2}\left(1+x^{2024}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入倒代换，利用对称性
令 $x = \frac{1}{t}$，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$。当 $x: 0 \to +\infty$ 时，$t: +\infty \to 0$。原积分变为：
$$I = \int_{\infty}^{0} \frac{1}{(1+\frac{1}{t})^{2}\left(1+\frac{1}{t^{2024}}\right)} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$$
公式：x = \frac{1}{t}, \quad dx = -\frac{1}{t^2} dt
提示：注意积分限的变化：下限0对应t→+∞，上限+∞对应t→0，因此换元后积分限需颠倒。
步骤 2/5
目标：化简被积函数
计算各部分：
$1+\frac{1}{t} = \frac{t+1}{t}$，所以 $(1+\frac{1}{t})^2 = \frac{(t+1)^2}{t^2}$；
$1+\frac{1}{t^{2024}} = \frac{t^{2024}+1}{t^{2024}}$。
代入被积函数：
$$\frac{1}{\frac{(t+1)^2}{t^2} \cdot \frac{t^{2024}+1}{t^{2024}}} = \frac{t^2}{(t+1)^2} \cdot \frac{t^{2024}}{t^{2024}+1}$$
再乘以 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$，得：
$$I = \int_{\infty}^{0} \frac{t^2}{(t+1)^2} \cdot \frac{t^{2024}}{t^{2024}+1} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{2024}}{(t+1)^2 (t^{2024}+1)} dt$$
公式：\frac{t^2}{(t+1)^2} \cdot \frac{t^{2024}}{t^{2024}+1} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)
提示：注意 $t^2$ 与 $1/t^2$ 抵消，负号用于交换积分限，最终得到从0到∞的积分。
步骤 3/5
目标：将原积分与变换后的积分相加
原积分：$I = \int_0^\infty \frac{1}{(1+x)^2(1+x^{2024})} dx$；
变换后（将t换回x）：$I = \int_0^\infty \frac{x^{2024}}{(1+x)^2(1+x^{2024})} dx$。
两式相加得：
$$2I = \int_0^\infty \frac{1 + x^{2024}}{(1+x)^2(1+x^{2024})} dx = \int_0^\infty \frac{1}{(1+x)^2} dx$$
公式：\frac{1 + x^{2024}}{(1+x)^2(1+x^{2024})} = \frac{1}{(1+x)^2}
提示：分子分母约去 $1+x^{2024}$ 是关键步骤，注意 $x^{2024}$ 在实数域非负，无奇点。
步骤 4/5
目标：计算简化后的积分
计算 $\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x)^2}$：
$$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x)^2} = \left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^\infty = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{1+b}\right) - \left(-\frac{1}{1+0}\right) = 0 + 1 = 1$$
公式：\int \frac{dx}{(1+x)^2} = -\frac{1}{1+x} + C
提示：注意上限代入时极限为0，下限代入得-(-1)=1，结果为正。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由 $2I = 1$，解得 $I = \frac{1}{2}$。
公式：I = \frac{1}{2}
提示：最终答案简洁，体现对称性技巧的威力。
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