湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
6．幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ 的和函数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆几何级数公式
当 $|x|<1$ 时，几何级数 $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$。
公式：\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}
提示：注意收敛域为 $|x|<1$，后续操作均在此范围内进行。
步骤 2/5
目标：求导得到一次项系数的和函数
对 $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$ 两边关于 $x$ 求导，左边得到 $\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$，右边为 $\frac{1}{(1-x)^2}$。将左边改写为 $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n$，因此有 $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$。
公式：\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}
提示：求导时注意下标变化，$n$ 从 $0$ 开始与从 $1$ 开始的关系。
步骤 3/5
目标：乘以 $x$ 构造新级数
将 $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$ 两边乘以 $x$，得到 $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2}$。
公式：\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2}
提示：乘以 $x$ 后，左边级数的指数变为 $n+1$，为下一步求导做准备。
步骤 4/5
目标：再次求导得到二次项系数的和函数
对 $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2}$ 两边关于 $x$ 求导。左边求导得 $\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 x^n$。右边求导：使用乘积法则，$\frac{d}{dx}\left[ x (1-x)^{-2} \right] = (1-x)^{-2} + x \cdot (-2)(1-x)^{-3}(-1) = \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3}$。通分后合并为 $\frac{1+x}{(1-x)^3}$。
公式：\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 x^n = \frac{1+x}{(1-x)^3}
提示：求导时注意链式法则，$\frac{d}{dx}(1-x)^{-2} = -2(1-x)^{-3}\cdot(-1) = 2(1-x)^{-3}$。
步骤 5/5
目标：确定收敛域并写出和函数
上述推导在 $|x|<1$ 时成立，因此幂级数 $\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 x^n$ 的和函数为 $\frac{1+x}{(1-x)^3}$，收敛区间为 $(-1,1)$。
公式：S(x) = \frac{1+x}{(1-x)^3}, \quad |x|<1
提示：端点 $x=\pm1$ 处级数发散，无需讨论。
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