湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
7．若 $x y z e^{x+y+z}=1$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ .
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将隐函数方程改写为标准形式，并求F对各变量的偏导数
给定方程 $x y z e^{x+y+z}=1$，改写为 $F(x,y,z)=x y z e^{x+y+z}-1=0$，其中 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
对 $F$ 求偏导：
- $F_x = y z e^{x+y+z} + x y z e^{x+y+z} = y z e^{x+y+z}(1+x)$
- $F_y = x z e^{x+y+z} + x y z e^{x+y+z} = x z e^{x+y+z}(1+y)$
- $F_z = x y e^{x+y+z} + x y z e^{x+y+z} = x y e^{x+y+z}(1+z)$
公式：$F_x = y z e^{x+y+z}(1+x)$, $F_y = x z e^{x+y+z}(1+y)$, $F_z = x y e^{x+y+z}(1+z)$
提示：求偏导时注意乘积法则，指数部分对自身变量求导为1。
步骤 2/7
目标：利用隐函数定理求一阶偏导数
由隐函数定理：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{y z e^{x+y+z}(1+x)}{x y e^{x+y+z}(1+z)} = -\frac{z(1+x)}{x(1+z)}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{x z e^{x+y+z}(1+y)}{x y e^{x+y+z}(1+z)} = -\frac{z(1+y)}{y(1+z)}$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z(1+x)}{x(1+z)}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z(1+y)}{y(1+z)}$
提示：约分时注意 $x, y, z$ 均不为0（否则原方程不成立）。
步骤 3/7
目标：对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导，准备计算二阶混合偏导
设 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z(1+x)}{x(1+z)}$，将其视为 $u/v$ 形式，其中 $u = -z(1+x)$，$v = x(1+z)$。
对 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）：
- $u_y = -(1+x) \frac{\partial z}{\partial y}$
- $v_y = x \frac{\partial z}{\partial y}$
代入商法则：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{u_y v - u v_y}{v^2}$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{u_y v - u v_y}{v^2}$
提示：注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，对 $y$ 求导时要用链式法则。
步骤 4/7
目标：计算分子并化简
分子 $= u_y v - u v_y$
$$= [-(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}] \cdot x(1+z) - [-z(1+x)] \cdot [x \frac{\partial z}{\partial y}]$$
$$= -x(1+x)(1+z)\frac{\partial z}{\partial y} + x(1+x)z \frac{\partial z}{\partial y}$$
$$= x(1+x)\frac{\partial z}{\partial y} [-(1+z) + z] = x(1+x)\frac{\partial z}{\partial y} (-1) = -x(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}$$
公式：分子 $= -x(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}$
提示：提取公因式时注意符号变化，负负得正。
步骤 5/7
目标：代入分母并化简表达式
分母 $v^2 = [x(1+z)]^2 = x^2(1+z)^2$，因此：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-x(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}}{x^2(1+z)^2} = -\frac{(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}}{x(1+z)^2}$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1+x)\frac{\partial z}{\partial y}}{x(1+z)^2}$
提示：约去 $x$ 时注意 $x \neq 0$。
步骤 6/7
目标：代入 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 并化简
代入 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z(1+y)}{y(1+z)}$：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1+x)}{x(1+z)^2} \cdot \left(-\frac{z(1+y)}{y(1+z)}\right) = \frac{(1+x)z(1+y)}{x y (1+z)^3}$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{z(1+x)(1+y)}{x y (1+z)^3}$
提示：负负得正，注意分母 $(1+z)$ 的指数相加。
步骤 7/7
目标：利用原方程验证结果（可选）
原方程 $x y z e^{x+y+z}=1$ 可用于验证，但最终结果已为最简形式，无需进一步化简。
公式：无
提示：检查分母不为零的条件：$x \neq 0, y \neq 0, z \neq -1$。
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